Текстові задачі на розвиток кмітливості

Текстові задачі на розвиток кмітливості

 

Розділ 1. ЛОГІЧНІ ЗАДАЧІ

Задачі не включають числових даних. Вони розв'язуються тільки на основі розмірковувань, співставлення подій за часом, уміння уявити зміну подій чи їх просторове розміщення. У цих задачах неявно вказуються існуючі зв'язки між величинами, які передбачають прямий чи зворотний хід думки.

1. Щоб перемогти у змаганнях з бігу, Сашко повинен бігти вдвоє швидше за Антона і втричі швидше за Мишка. Хто переміг? Хто був останнім?

2. Три білочки збирали горіхи. Перша зібрала більше за другу і менше за третю. Хто із білочок зібрав горіхів найбільше, а хто найменше?

3. Із трьох звірів, перший не колючий і не хитрий, другий не любить меду і колючий, а третій хитрий і не любить меду. Про яких звірів ідеться? Назви першого, другого, третього звірів.

4. Із трьох звірів один не колючий, другий не їсть меду, а третій не хитрий і не боїться бджіл. Назви кожного із звірів.

5. Три хлопчики — Андрій, Володя і Сергій пішли у похід. Андрій ішов не першим, Сергій ішов теж не першим, але і не останнім. У якому порядку йшли хлопчики?

6. Три смужки лежать так, що перша справа не зелена, третя зліва жовта, а посередині червона. Назви кольори смужок справа наліво.

7. Як можна розфарбувати три трикутники так, щоб два із них були одного кольору, а два — різного?

8. Три дівчинки мають волосся різного кольору: біляве, русяве, чорняве. У Тетянки волосся не русяве, у Наталки волосся не русяве і не чорне. Якого кольору волосся у Тетянки, Наталки, Маринки?

9. Хто з братів найстарший, якщо Жені вдвічі більше років, ніж буде Валерію тоді, коли Володі виповниться стільки ж років, скільки Жені зараз?

10. У двох батьків різного віку, Олега Петровича і Семена Ігоровича, сини Костя та Максим різного віку. Вік Семена Ігоровича і Кості дорівнює віку Олега Петровича і Максима. Назви, хто чий батько і хто чий син, якщо у старшого за віком батька старший син.

11. У двох хлопчиків різного віку, Юри та Ігоря, було 37 та 45 марок. Якби Юра був старший, то у нього було б більше марок. Хто з хлопчиків старший і у кого більше марок?

12. Три хлопчики живуть на одній вулиці і ходять до однієї школи. Хто з них живе ближче до неї, якщо Петрик виходить раніше за Сергійка і пізніше за Вадима, а до школи вони приходять одночасно?

13. Троє хлопчиків, Сашко, Петрик та Мишко, живуть на одному майданчику у сусідніх квартирах. Номери їхніх квартир 10, 11, 12. Якби Сашко жив у квартирі під номером 11, то його вік співпав би з номером квартири. Мишко найстарший і живе в квартирі першій зліва. Назви вік хлопчиків і номери їхніх квартир, якщо вік хлопчиків 10, 11,12 років.

14. Оля, Катя і Настя розфарбовували прапорці. Хто з дівчаток першою впорався з роботою, якщо Катя закінчила її після того, як Оля виконала третину того, що зробила Настя?

15. Три хлопчики, Са жо, Миколка та Денис, розв'я-зували арифметичні задачі. Після того, як Миколка виконав половину тих завдань, що виконав Сашко, Денис закінчив розв'язувати задачі. Хто із хлопчиків першим упорався із завданням? Хто останнім?

 Розділ 2. Дні тижня

Завдання на розпізнавання днів тижня  та часові уявлення про них не викликають особливих труднощів ні при їх називанні, ні при визначенні порядку їх чергування.

 А чи так легко і швидко можна дати відповідь ось на такі запитання?

1. Який день тижня післязавтра, якщо завтра — п'ятниця?

2. Який день тижня був позавчора, якщо вчора був третій день тижня?

3. Який день тижня був вчора, якщо позавчора був п'ятий день тижня?

4. Який день тижня буде завтра, якщо день після нього — понеділок?

5. Який день тижня був позавчора, якщо день після нього — другий день тижня?

6. Який день тижня завтра, якщо вчора був третій день тижня?

7. Який день тижня сьогодні, якщо позавчора був сьомий день тижня?

8. Який день тижня був вчора, якщо післязавтра другий день тижня?

9. Який день тижня сьогодні,  якщо позавчора був день, який післязавтра буде середою?

10. Який день тижня завтра, якщо вчора був день, який післязавтра буде п'ятницею?

11. Який день тижня післязавтра, якщо вчора був вівторок?

12. Який день тижня післязавтра, якщо позавчора була неділя?

13. Який день тижня завтра, якщо вчора був день, який позавчора був четвергом?

14. Який день тижня сьогодні, якщо післязавтра день, який післязавтра буде п'ятницею?

15. Який день тижня був учора, якщо день перед ним такий, що післязавтра він четвер?

16. Який день тижня був позавчора, якщо завтра день, що позавчора був вівторком?

17. Який день тижня завтра, якщо вчорашній день був такий, що позавчора був неділею?

18. Який день тижня післязавтра, якщо завтра день, що позавчора був середою?

19. Який день тижня був учора, якщо позавчора був день, який позавчора буг четвергом?

20. Який день тижня сьогодні, якщо позавчора був день, який позавчора був суботою?

21. Який день тижня був учора, якщо завтра буде день, який післязавтра середа?

22. Який день тижня був позавчора, якщо вчора був день, який позавчора був вівторком?

23. Який день тижня післязавтра, якщо позавчора був день, який післязавтра буде понеділком?

Розділ 3. СТАРШИЙ ЧИ МОЛОДШИЙ?

Відповідь на це запитання можна одержати, розв'язуючи задачі, у яких явно чи неявно вказується на родинні стосунки, порівнюється вік друзів, спів ставляється вік дорослих і дітей. Учням потрібно уявити ті зміни у часі, що описані в умові, та відповідно до них визначити правильний шляхрозв 'язування задачі, не забуваючи про родинні зв'язки в динаміці подій сюжету конкретної за¬дачі.

1. Рік тому Іринці виповнилось 5 років. Якого віку вона буде через 5 років?

2. Через 3 роки Оленка буде старшою за Ігоря на 4 роки. На скільки років Оленка старша за Ігоря?

3. Оля, Іринка та Ганнуся —сестрички різного віку. Яка з сестер найстарша, якщо Ганнусі зараз стільки років, скільки буде Іринці через 2 роки після того, як Олі виповниться 7 років?

4. Два роки тому Олегові було 7 літ. Скільки років його братові Сергійку, якщо він у три рази молодший за Олега?

5. Через два роки Юрко буде втричі молодшим за тринадцятилітнього Володю. Скільки років Юркові?

6. Вік Олега і Андрія разом складає 16 років, а вік разом Андрія і Володі — 21 рік. Вкажи вік кожного хлопчика, якщо усі разом вони мають 28 років.

7. Батько у 3 рази старший за доньку, а син молодший за батька у 4 рази. Різниця між віком доньки та сина складає 3 роки. Визнач вік батька та його дітей.

8. Якщо до віку Олени Миколаївни додати 7 років, то вона буде старшою за Катерину Семенівну у 2 рази. Якщо вік Катерини Семенівни зменшити на 4 роки, то вона буде у 4 рази старшою за семирічну Оксану. Скільки років Олені Миколаївні, а скільки Катерині Семенівні?

9. Коли синові виповнилося 7 років, то батькові було 32 роки. Через скільки років батько буде вдвічі старший за сина?

10. Через два роки Марина буде у 4 рази старшою за свого молодшого трилітнього брата Валентина. Який зараз вік Марини?

11. Через 3 роки Оленка буде вдвічі старшою за шестилітнього Павла. Скільки років Оленці?

12. Чотири роки назад Наташа була вдвічі молодшою за свого брата, чотирнадцятилітнього Антона. Який вік Наташі?

13. Оля старша за Іринку на 3 роки, а від Тоні вона старша на 4 роки. Всього сестричкам 35 років. Який вік кожної із дівчаток?

14. Через скільки років десятилітній Василько буде вдвічі старшим за Семена, який зараз молодший за шестилітнього Олега на 2 роки?

15. Через 7 років Олег буде вдвічі старшим за Василя, а різниця між їх віком складає 12 років. Який вік Олега і Василя?

16. Через 4 роки Ігор буде вдвічі старшим за Антона, який зараз молодший за семилітнього Дмитрика на 2 роки. Обчисли вік кожного із хлопчиків. Хто з них найстарший?

17. Коли Андрію виповниться через 5 літ стільки років, скільки зараз Миронові, він буде втроє старшим за шестирічного Олега. Хто з хлопчиків найстарший, а хто — наймолодший? Скільки років кожному із них?

18. Петрик та Василько — брати дівчаток Опі та Насті. Кожна дівчинка молодша за свого брата на 2 роки. Оля старша за Василя на 3 роки. Всього дітям разом 42 роки. Назви, хто з хлопчиків і дівчаток знаходиться у родинних зв'язках, і визнач їх вік.

19. Якщо до віку сестри додати 4 роки, то вона буде ровесницею свого брата. їх спільний вік у 2 рази менший за вік батька. Разом батькові і його дітям 60 років. Обчисли вік кожного.

20. Визнач вік дідуся, батька і онука, якщо через 5 років онук буде молодшим за дідуся у 3 рази,а за батька — у 2 рази. Різниця між віком дідуся і батька дорівнює 25 рокам.

21. У бабусі було четверо внуків. Вік найстаршого складає третину, вік кожного із братів-близнюків — четверту частину, а найменшого — шосту частину віку бабусі. Найстарший має на 12 років більше від молодшого внука. Скільки років бабусі і кожному із онуків?

22. Якщо вік бабусі збільшити на 4 роки, то вона буде старшою за свою внучку у 6 разів, а якщо вік матері зменшити на 4 роки, то її вік буде у 3 рази більшим за вік своєї дочки або внучки бабусі. Різниця між віком бабусі та матері складає 25 років. Обчисли вік бабусі, матері, внучки.

 

Розділ 5. ПОДУМАЙ І РОЗВ'ЯЖИ

Це задачі, у яких є логічна і обчислювальна частини. При розв'язуванні таких задач необхідно здійснити логічний аналіз даних умови, уявити собі зв 'язки і відношення між величинами. Лише після цього можна переходити до арифметичної, обчислювальної частини. Серед цих за¬дач значна кількість таких, які вимагають уявити, що станеться при зміні деяких даних умови. Кожна задача має свою динаміку в рамках її сюжету. Учневі слід уявити, як змінюються відношення між величинами і які зміни відбуваються в описуваних подіях і явищах. У цих задачах передбачається як прямий, так і зворотний хід думки. Робити певні умовисновки слід за законами, правилами погіки висловлень. Задачі різні за складністю та кількістю об'єктів дій, сюжетом та числом, якістю відношень між об'єктами дій, але спільним для них є потреба в «інтелектуальній паузі», у попередньому логічному аналізі її умови.

1. На двох тарілках лежала однакова кількість слив. Якою стала різниця між кількістю слив на тарілках після того, як з першої тарілки 4 сливи переклали на другу тарілку?

2. В Олі на четверо яблук більше, ніж у Надійки. Оля віддала троє яблук Надійці. У кого стало більше яблук і на скільки?

3. У трьох білочок 36 грибів. Якщо в першої білочки забрати 3 гриби і віддати їх третій білочці, то у всіх білочок грибів стане однаково. Скільки грибів було спочатку в кожної білочки?

4. У дитячий садок завезли м'ячі синього і жовтого кольорів. Синіх м'ячів було па 19 більше, ніж жовтих. Якою стане різниця між цими м'ячами після того, як кількість синіх м'ячів збільшиться на 5, а жовтих зменшиться на 7?

5. Пляшка молока коштує 35 копійок. Молоко дорожче за порожню пляшку на 21  копійку. Яка ціна порожньої пляшки?

6. Хлопчики купили 29 марок. Різниця між кількістю марок в Олега і Кості складає 6, а у Кості та Сергія

1 марку. Скільки марок у кожного хлопчика?

7. Різниця між кількістю великих і маленьких марок дорівнює 23. Кількість великих марок збільшили на 5, а маленьких зменшили на 3. Як змінилася різниця?

8. У двох дівчаток 14 цукерок. Після того, як Олі дали 5 цукерок, а у Катрусі забрали 3, Оля мала їх в 3 рази більше, ніж Катруся. Скільки цукерок було спочатку у кожної із дівчаток?

9. В Іринки було на 3 книги більше, ніж у Ганнусі. Після того, як вони обмінялися книгами, виявилося, що у Ганнусі стало більше На 1 книгу, ніж в Іринки. Скільки книг віддала Іринка Ганнусі? Якою стала різниця між кількістю книг у Ганнусі та Іринки?

10. У двох хлопчиків були монети однакової вартості. Після того, як Володя віддав 5 монет Андрію, в нього стало на 4 монети менше, ніж в Андрія. У кого із хлопчиків було спочатку більше монет і на скільки?

11. Мама дала Вірі на 2 цукерки більше, ніж Ані, а Олі на 3 менше, ніж Вірі. Всього мама дала 19 цукерок. Скільки цукерок мама дала кожній дівчинці?

12. Якщо Жені дати ще 3 апельсини, а у Саші забрати 7, то у них стане разом 32 апельсини. Скільки апельсинів стало у кожного із хлопчиків, якщо спочатку їх було порівну?

13. У двох коробках лежали олівці. Після того, як з першої коробки переклали до другої 4 олівці, виявилося, що в другій коробці олівців на 3 менше, ніж у першій. В якій коробці було більше олівців і на скільки?

14. У хлопчиків Кості і Андрія спочатку була однакова кількість касет. За кожні три Костеві касети Андрій давав для обміну п'ять своїх касет. У кого стало більше касет і на скільки після чотирьох таких обмінів?

15. На столі лежало 23 кубики червоного та синього кольорів. Якщо кількість червоних кубиків збільшити на 4, а синіх зменшити на 5, то їх стане порівну. Скільки кубиків і якого кольору було спочатку?

16. Хлопчики ходять в один спортивний клуб, але живуть у різних будинках. Щоб прийти всім вчасно, Семен повинен вийти не пізніше Олега і не раніше Бориса. Хлопчик, який прийшов першим, іде до клубу 20 хв, а інші приходять через рівні проміжки часу в 15 хв. Через який час кожен із хлопчиків приходить у спортив¬ний клуб?

17. У дівчинки Оленки було 5 цукерок, а у її подруги Маринки — 7. Іринка попросила дівчаток поділитися з нею цукерками. Всі цукерки розділили між собою порівну, іринка дала за це дівчаткам 40 копійок. Як ці гроші дівчатка розділили між собою?

18. Якщо з першої коробки у третю перекласти 12 апельсинів, а в другу коробку докласти 7, то їх стане

однаково в усіх коробках. Всього апельсинів 102. Скільки апельсинів було спочатку в кожній коробці?

19. У лісовій школі навчається 74 звірі. У першому класі навчалося не найменше звірів, а в другому — не найбільше. У першому класі навчається на 5 звірів більше, а у третьому класі на 12 звірів більше, ніж у другому класі. Скільки звірів навчається у кожному класі?

20. У дівчинки 3 гривні 30 копійок. На них вона може купити кілька порцій морозива по 30 коп. і 50 коп. Різниця між кількістю морозива по 30 коп. і 50 коп. складає 3 порції. Скільки порцій морозива різної ціни купила дівчинка?

21. Якщо до яблук у другому ящику перекласти 5 яблук з першого ящика, то їх стане у два рази більше, ніж у першому ящику. Скільки яблук у кожному ящику, якщо спочатку в обох ящиках яблук було однаково?

22. Якщо до червоних кружечків докласти ще 3, то їх стане у 3 рази більше, ніж синіх. Скільки кружечків і якого кольору було спочатку, якщо всього їх було 25 штук?

23. На столі лежать 56 зошитів в лінійку і клітинку. Іх розклали так, що 3 зошити в лінійку лежать поряд з 4 зошитами у клітинку. Скільки зошитів у лінійку і клітинку лежать на столі?

24. Якщо Катрусі дати 2 цукерки, а кількість цукерок для Олі збільшити у 3 рази, то одержимо всього 16 цукерок. Скільки цукерок було у кожної дівчинки спочатку, якщо в Олі їх було в два рази більше, ніж у Катрусі?

25. Оленка та Наташа мали однакову кількість книг. При обміні за кожні три Оленчині Наташа давала своїх п'ять. Через кілька таких обмінів у Оленки стало на 12 книг більше, ніжу Наташі. Скільки разів дівчатка обмінювалися книгами? Скільки книг повинна віддати Оленка Наташі, щоб їх у дівчаток знову стало однаково?

26. Якщо до яблук у другому ящику докласти ще 7 кг, то їх стане на 4 кг більше, ніж у першому. Скільки кілограмів яблук було у першому ящику, якщо у другому спочатку було 12 кг?

27. Коли з першої коробки забрали 6 апельсинів, то в ній залишилося на 8 штук менше, ніж у другій коробці. Скільки апельсинів було спочатку у першій коробці, якщо у другій спочатку було 23?

28. У вазі лежало 39 шоколадних цукерок і 45 карамелів. Оксана взяла з вази кілька шоколадних цукерок, і їх стало у 4 рази менше, ніж було спочатку всіх цукерок. Скільки цукерок забрала Оксана?

29. У першому бідоні стільки молока, скільки його в другому і третьому бідонах разом. Якщо з другого бідона перелити 7 літрів молока в третій, то молока в них стане однаково. Скільки молока в кожному із бідонів, якщо всього в бідони розлито 96 л?

30. Мама дала Вірі цукерки, щоб вона розділила їх між собою, Аллою та Ларисою. Віра взяла собі у 4 рази більше цукерок, ніж дала Ларисі, а Алла одержала в 3 рази менше за Ларису. Виявилося, що у Віри на 22 цукерки більше, ніж у Алли. Скільки цукерок одержала кожна із дівчаток?

31. У казковому місті гномику Тиші запропонували місце сторожа на один місяць, тобто 30 днів. Але йому поставили умову: якщо він буде працювати сумлінно, то за добу отримає 4 гривні, а якщо буде працювати погано, то він має доплатити 1 гривню за добу. Через місяць гномик Тиша одержав 95 гривень. Скільки днів він працював сумлінно?

32. У трьох дівчаток разом 27 цукерок. У Марійки на З цукерки більше, а в Катрусі у 2 рази більше, ніж у Олі. Скільки цукерок у кожної дівчинки?

33. Якщо з першого ящика забрати 9 лимонів, а до другого покласти 18, то у другому ящику їх стане у 3 рази більше, ніж у першому. Скільки лимонів було спочатку у другому ящику, якщо у першому було 20?

34. Три ділянки засіяли різними культурами: житом, пшеницею, гречкою. Ділянки мають загальну площу 150 га. Площа ділянки під житом на 24 га менша, ніж під гречкою, але рівна ділянці під пшеницею. Яка площа кожної із ділянок і якою культурою їх засіяли?

35. Маринка розкладала олівці у коробки. Коли вона розклала по 6 олівців у кожну коробку, то в неї залишилося 2 олівці. А коли вона розклала по 7, їй не вистачило 2 олівці. Скільки олівців розкладала Маринка?

36. Наташі залишилося прочитати 32 сторінки. Це у 2 рази більше, ніж вона прочитала. Скільки сторінок у книзі?

37. У Олі та Яни разом 12 яблук. Оля віддала Яні троє своїх яблук, і після цього в неї залишилося стільки яблук, що їх кількість у 2 рази менша за кількість яблук у Яни. Скільки яблук було спочатку у кожної дівчинки?

38. Якщо з першої посудини перелити 9 л води у другу, то в першій посудині залишиться вдвічі менше

води, ніж у другій, і втричі менше, ніж у третій посудині. Скільки води спочатку було налито у посудини, якщо у третій було 18 л води?

39. Мені залишилося прочитати 28 сторінок. Це у 9 разів менше, ніж я прочитав. Скільки сторінок у

книзі?

 40. Одного разу Ведмідь запросив своїх лісових друзів на свято. Всього прийшло 30 звірів. Ведмедю треба було розділити між ними 100 тістечок. Він вирішив своїм друзям дати по 4, а решті гостей — по 3 тістечка. Скільки друзів у Ведмедя?

41. Три ділянки загальною площею 114 га засіяли різними культурами: буряками, морквою, капустою. Під буряками на 15 га більше, ніж під морквою, а під капустою на 18 га менше, ніж під буряками. Яка площа ділянок засіяна буряками, морквою, капустою?

42. Три їжачки збирали гриби. Перший їжачок зібрав не найменше, а третій не найбільше. Якщо від найбільшої кількості грибів відняти найменшу, то вона буде дорівнювати 21. Сума середньої кількості грибів і найменшої складає 46. Яку кількість грибів зібрав кожний їжачок, якщо третій із них зібрав на 6 штук більше за другого?

43. Іван та Герман мінялися книгами: за кожні дві Іванові Герман давав на обмін три свої книги. Після трьох таких обмінів у Івана стало на дві книги більше, ніж у Гурмана. У кого було більше книг спочатку і на скільки?

44. Марина та Костя разом читали книгу. Марина прочитала 2/7 книги в той же час, що Костя прочитав сьому частину книги та ще 7 сторінок. Скільки сторінок у книзі?

45. Незнайко завітав до магазину, щоб купити марки. «Скільки коштує 6 великих і 5 маленьких марок?» — запитав він. «На 20 гривень більше, ніж коштують 3 великих і 7 маленьких марок,— відповів продавець магазину. — Причому одна велика марка коштує стільки ж, скільки 4 маленьких марки». Яка ціна великої і маленької марки?

46. У коробці лежало 28 червоних і 9 синіх олівців. До коробки поклали ще кілька синіх олівців і вони (сині олівці) склали третину від загальної кількості. Скільки синіх олівців поклали до коробки?

47. За один і той же час один велосипедист долає третину шляху, а другий — четверту частину шляху.

Перший велосипедист проїхав на 3 км більше, ніж другий. Який шлях повинні проїхати  велосипедисти?

48. Два автомобілі одночасно виїхали в одному напрямку. Перший автомобіль проїхав 45 км, що складає третину усього шляху. За цей час другий автомобіль проїхав п'яту частину цього ж шляху. Скільки кілометрів проїхав другий автомобіль?

49. Довжина двох відрізків 18 см. Якщо перший відрізок збільшити на 5 см, а другий зменшити на 3 см, то відрізки стануть однаковими за довжиною. Якої довжини кожен із відрізків?

50. Перша банка вміщує рідини в два рази більше, ніж третя, а друга банка — в 3 рази більше, ніж перша. Різниця | між місткістю другої і третьої банок складає 15 літрів. І Скільки рідини у кожній банці?

51. Якщо у перший ящик покласти стільки апельсинів,    і скільки в ньому вже є, а з другого ящика забрати половину того, що є в другому ящику, то в першому ящику буде  в 4 рази більше апельсинів,  ніж у другому, тобто 32 апельсини. Скільки апельсинів було у кожному ящику спочатку?

52. Володя Катаровський проживає на третьому поверсі багатоповерхового будинку, а його товариш Женя Бондаренко на шостому поверсі того ж будинку. Щоб піднятися на третій поверх, Володя проходить 36 сходинок. Скільки сходинок проходить Женя, коли піднімається на шостий поверх?

Розділ 6. НУМЕРАЦІЯ БАГАТОЦИФРОВИХ ЧИСЕЛ

1. Запиши число, у якому 11 сотень, 11 десятків та 11.

2. Запиши число, у якому 32 сотні, 43 десятки та 6 одиниць.

3. Запиши число, у якому 38 сотень, 45 десятків та 72 одиниці.

4. Запиши число, у якому 56 сотень, 56 десятків та 56 одиниць.

5. Запиши число, у якому 47 сотень, 63 десятки та 12 одиниць.

6. Запиши число, у якому 12 тисяч, 13 сотень та 5 одиниць. Перевір, чи ділиться воно на 3.

7. Запиши число, у якому 217 сотень, 32 десятки та 21 одиниця. Знайди остачу від ділення цього числа

на 9.

8. Запиши число, у якому 32 тисячі, а сотень у два рази менше, ніж тисяч.

9. Запиши число, у якому 18 сотень, десятків у 2 рази менше, а одиниць у 3 рази менше, ніж сотень.

10. Запиши число, у якому 24 тисячі, а сотень у 2 рази, десятків у 3 рази, а одиниць у 4 рази менше, ніж тисяч.

11. Запиши число, у якому 42 тисячі, а сотень менше у 2 рази, десятків у 3 рази менше, а одиниць у 6 разів менше, ніж тисяч.

12. Запиши число, у якому 36 тисяч, а сотень у 6 разів менше, десятків у 9 разів менше, а одиниць у 12 разів менше, ніж тисяч.

13. Запиши число, у якому 54 тисячі, а сотень на 32 менше, десятків у 9 разів менше, а одиниць у 6 разів менше, ніж тисяч.

14. Запиши трицифрове число за допомогою цифр З, 6, 7, у якому цифра десятків більша цифри одиниць у 2 рази.

15. Запиши трицифрове число за допомогою цифр 2, 5, 9, у якому найбільша цифра не на місці сотень, а найменша на місці десятків.

16. Запиши трицифрове число, у якому цифра сотень на 3 більша цифри десятків і в 3 рази більша цифри одиниць.

17. Сума цифр двоцифрового числа дорівнює 11. Цифра одиниць більша цифри десятків на 3. Назви двоцифрове число.

18.Запиши чотирицифрове число за допомогою цифр 0, 7, 3, 5, у якому найбільша цифра на місці сотень, а цифра 5 на місці одиниць.

19. Запиши чотирицифрове число, у якому цифра сотень найбільша, а цифра тисяч не найменша,

а цифра одиниць 5. Запиши відповідь, якщо цифри 2, З, 5, 8.

20. Запиши чотирицифрове число, у якому цифра тисяч більша цифри десятків у 3 рази, а цифра сотень у З рази більша цифри одиниць. Цифра сотень більша цифри десятків у 2 рази.

21. Запиши найбільше чотирицифрове число за допомогою цифр 2, 4, 5, 7, але щоб сума сотень і одиниць дорівнювала сумі тисяч і десятків.

22. Запиши найменше чотирицифрове число за допомогою цифр 3, 4, 6, 7, але щоб різниця тисяч і сотень дорівнювала різниці десятків і одиниць.

23. Сума цифр чотирицифрового числа дорівнює 21. Цифра тисяч більша цифри сотень на 4 одиниці, а різниця десятків і одиниць дорівнює 5. Цифра одиниць більша цифри сотень у 2 рази. Назви це чотирицифрове число.

24. Запиши найбільше п'ятицифрове число за допо-могою цифр 3, 4, 5, 8, 9, у якому найбільша цифра не тисяча, парні цифри на місці десятків і сотень. Найменша цифра записана на місці найвищого розряду.

25. Запиши чотирицифрове число, у якому парні цифри і цифра вищого розряду вдвічі менші цифри нижчого розряду.

26. Запиши п'ятицифрове число за допомогою цифр 1, 4, 6, 7, 8, у якому сума цифр на парних місцях дорівнює сумі цифр на непарних місцях, рахуючи справа наліво. Найбільші цифри стоять на місці вищих розрядів.

27. Запиши п'ятицифрове число за допомогою цифр З, 4, 7, 8, у якому найбільша цифра стоїть на місці десятків, цифра сотень не більша цифри одиниць, цифра 4 стоїть на місці найвищого розряду, цифра сотень і одиниць не 7. Цифри у записі числа можуть повторюватися.

28. Запиши п'ятицифрове число за допомогою цифр 1, 2, 3, 4, 9. Найменша цифра стоїть на місці найви¬щого розряду. Сума цифр, що стоять на місці тисяч та сотень, в 2 рази більша суми цифр, що стоять на місці десятків і одиниць. Скільки буде таких п'ятицифрових чисел?

29. Підбери цифру сотень числа 45..34 так, щоб воно поділилося на число 3.

Розділ 7. АРИФМЕТИЧНІ ДІЇ ТА ЗВ'ЯЗОК МІЖ НИМИ

1. Сума двох чисел дорівнює 111, а різниця між ними — 15. Знайди ці числа.

2. Сума двох чисел дорівнює 248, а різниця між ними — 132. Знайди ці числа.

3. Сума двох чисел дорівнює 3257, а різниця між ними — 1363. Знайди ці числа.

4. Сума двох чисел дорівнює 7354, а різниця між ними — 5678. Знайди ці числа.

5. Сума двох чисел дорівнює 23709, а різниця між ними — 19627. Знайди ці числа.

6. Сума двох чисел дорівнює 57438, а різниця між ними — 29750. Знайди ці числа.

7. Різниця між першим і другим числами дорівнює 4. Перше число збільшили на 15, а друге — на 13. Як змінилася різниця?

8. Різниця між першим і другим числами дорівнює 37. Перше число зменшили на 23, а друге збільшили на 9. Як змінилася різниця, якою вона стала?

9. Різниця між першим і другим числом дорівнює 43. Перше число зменшили на 29, а друге збільшили на 12. Як змінилася різниця, якою вона стала?

10. Різниця двох чисел 36. Перше із чисел у 2 рази більше за друге. Назви ці числа.

11. Різниця двох чисел 54. Перше із них у 7 разів більше за друге. Що це за числа?

12. Сума двох чисел 32, вона у 8 разів більша за одне із чисел. Знайди ці числа.

13. Сума двох чисел 56, одне з них у 7 разів більше за друге. Знайди ці числа.

14. Сума двох чисел 144, перше із чисел у 17 разів менше за друге. Знайди ці числа.

15. Сума двох чисел дорівнює 252: вона у 9 разів більша за одне із чисел. Знайди ці числа.

16. Сума двох чисел 925, одне із них у 24 рази більше за друге. Знайди ці числа.

17. Сума двох чисел 2328, вона у 24 рази більша за одне із чисел. Знайди ці числа.

18. Різниця двох чисел дорівнює 21, вона в 4 рази менша за більше із чисел. Знайди ці числа.

19. Сума двох чисел у 6 разів більша за одне із чисел. Різниця шуканих чисел дорівнює 32. Знайди ці числа.

20. Сума більша за одне із чисел у 37 разів. Різниця між числами дорівнює 4690. Знайди ці числа.

21. Одне із чисел більше за друге у 32 рази. Різниця між ними дорівнює 2077. Знайди ці числа.

22. Сума двох чисел 84, а їх частка — число 6. Знайди ці числа.

23. Добуток двох чисел дорівнює 98, а їх частка — число 2. Знайди ці числа.

24. Добуток двох чисел дорівнює 108, а їх частка — число 3. Знайди ці числа.

25. Добуток двох чисел дорівнює 972, а їх частка — число 3. Знайди ці числа.

26. Суму чисел 2341 та 4951 збільшили на 892, і вона стала більшою у 132 рази за шукане число. Що це за число?

27. Число менше суми чисел 2354 та 7428 у 73 рази. Знайди це число.

28. Перше число більше за друге на 34179, а сума першого і другого чисел дорівнює 53265. Знайди ці

числа.

29. Перше число більше за друге на 29375. А їх сума дорівнює 35963. Знайди ці числа.

30. Перше число менше за друге на 32576 одиниць.  А їх сума — 74758. Знайди ці числа.

31. Перше число менше за друге на 52624, а їх сума дорівнює 84932. Знайди ці числа.

32. Перше число більше за друге у 2 рази, але менше за третє у 3 рази. Різниця між першим і третім числом складає 60. Назви всі три числа.

33. Невідоме число зменшили у 6 разів. Різниця невідомого та одержаного дорівнює 60. Знайди невідоме число.

Розділ 8. ЗАЛЕЖНІСТЬ МІЖ КОМПОНЕНТАМИ ТА РЕЗУЛЬТАТАМИ ДІЙ

1. Перше число збільшили у 7 разів, а друге — у 8 разів. Одержали однаковий результат — число 168. Знайди перше і друге числа.

2. Перше число зменшили на 293 одиниці, а друге — збільшили у 14 разів. Одержали однаковий результат — число 518. Обчисли числа, над якими виконували дії.

3. Перше число збільшили у 5 разів, а друге — зменшили у 7 разів. Одержали однаковий результат — число 40. Обчисли числа, над якими виконували дії.

4. Перше число збільшили у 17 разів, а друге — на 1 95 одиниць. Одержали однаковий результат — число 391. Знайди перше і друге числа.

5. Перше число збільшили у 23 рази, а друге — у 34 рази. Одержали однаковий результат — число 28934. Знайди перше і друге числа.

6. Перше число зменшили у 22 рази, а друге — у 46 разів. Одержали однаковий результат — число 37. Знайди ці числа.

7. Якщо від числа відняти 698, то одержане число буде більше на 7321 одиницю від числа 2795. Знайди це число.

8. Число збільшили у 15 разів, одержане число стало більшим за число 328 на 602 одиниці. Що це за

число?

9. Невідоме число збільїьлли на 1248 одиниць, одержане число стало у 15 разів більше за число 132. Знайди невідоме число.

10. Після того, як число зменшили у 23 рази, одержане число стало більшим за число 729 на 541 одиницю. Знайди це число.

11. Невідоме число зменшили на 3258, одержане число стало у 34 рази більше за число 58. Знайди невідоме число.

12. Число збільшили у 17 разів, одержане число стало меншим за число 3519 у 23 рази. Знайди число.

13. Якщо зменшити число на 2138 одиниць, то одержимо число, що у 17 разів більше за число 258. Що це за число?

14. Число збільшили у 97 разів, одержане число стало більшим на 3257 одиниць від числа 4794. Знайди це число.

15. До числа додали 5634, одержали число, що більше у 38 разів від числа 265. Що це за число?

16. Число зменшили на 1935 одиниць, одержане число стало у 15 разів більше за число 302. Що це за число?

17. Невідоме число збільшили на 22724 одиниці, одержане число стало у 93 рази більше за невідоме. Знайди невідоме число.

18. Число зменшили на 462 одиниці, одержане число стало меншим за шукане у 23 рази. Що це за число?

19. Невідоме число збільшили на 3818 одиниць і одержали число, що більше за невідоме у 47 разів. Знайди невідоме число.

20. Невідоме число зменшили у 127 разів, одержане число стало меншим за невідоме на 8285 одиниць. Знайди невідоме число.

21. Від невідомого числа відняли 16482. Одержане число зменшилося у 68 разів. Знайди невідоме число.

22. Невідоме число помножили на 57, воно збільшилося на 1904 одиниці. Знайди невідоме число.

23. Невідоме число розділили на 84, а частка невідомого і числа 84 дорівнює 17. Знайди невідоме число.

24. Невідоме число розділили на 143, одержане число виявилося більшим за дільник у 7 разів. найди невідоме число.

25. Невідоме число розділили на 63 і одержали чис¬ло, що у 9 разів менше за дільник. Знайди невідоме число.

26. До невідомого числа додали 1200. Після цього воно збільшилося у 26 разів. Знайди невідоме число.

27. До даного числа додали його два рази і одержали число, що дорівнює сумі числа 726 та даного числа. Знайди це число.

28. Після того, як перше число збільшили на 47 одиниць, воно стало у 2 рази більшим за друге, а їх сума стала більшою за число 620 на 253 одиниці. Знайди перше і друге числа.

29. Перше число більше за друге у три рази. Перше число збільшили у 6 разів, а друге — зменшили у 2 рази. Як зміниться частка першого і другого чисел? Якою вона стане?

30. Перше число менше за друге у 6 разів. Перше число зменшили у 8, а друге — у 2 рази. Як зміниться частка? Якою вона стане?

31. Перше число більше за друге у 18 разів. Перше число збільшили у 5 разів, а друге — у 10. Як зміниться частка цих чисел? Якою вона стане?

32. Якщо задумане число збільшити у три рази, а потім задумане число збільшити у 5 разів і знайти між ними різницю, то вона буде дорівнювати 48. Знайди задумане число.

33. Перше число більше за друге у 84 рази. Перше число зменшили у 7 разів, а друге збільшили у 6 разів. Як зміниться частка першого і другого чисел? Якою вона стане? У скільки разів вона зміниться?

34. Перше число менше за друге у 42 рази. Перше число збільшили у 2 рази, а друге зменшили у 7 разів. Як зміниться частка чисел? Якою вона стане? У скільки разів вона зміниться?

Інформація про числа-вертуни

 Інформація про числа-вертуни

Теорема. Кількість чисел-вертунів вигляду k^m+m^k, якщо 1<k,m< p, 

дорівнює р(р-1)/2.

Для доведення цього факту можна використати таблицю розміром (р-1)х

(р-1). Записати у  клітинки числа-вертуни  і порахувати кількість клітинок

Наприклад, для чисел  k^m+m^k, якщо 1<k,m< 8, 

p=8	k=1	k=2	k=3	k=4	k=5	k=6	k=7
m=1
m=2
m=3
m=4
m=5
m=6
m=7

 

Покажемо випадки, коли р={2,3,4,5,6,7}

1)Послідовність чисел-вертунів вигляду k**m+m**k, якщо 1<k,m< 2

  1 ^ 1 + 1 ^ 1 = 2- просте, парне число.

кількість  чисел-вертунів від 1 до 3 дорівнює 1.

2)Послідовність чисел-вертунів вигляду k**m+m**k, якщо 1<k,m< 3

  1 ^ 1 + 1 ^ 1 = 2

  1 ^ 2 + 2 ^ 1 = 3

  2 ^ 2 + 2 ^ 2 = 8

Kількість  чисел-вертунів від 1 до 9 дорівнює 2*3/2=3.

3)Послідовність чисел-вертунів вигляду k**m+m**k, якщо 1<k,m< 4

  1 ^ 1 + 1 ^ 1 = 2

  1 ^ 2 + 2 ^ 1 = 3

  1 ^ 3 + 3 ^ 1 = 4

  2 ^ 2 + 2 ^ 2 = 8

  2 ^ 3 + 3 ^ 2 = 17

  3 ^ 3 + 3 ^ 3 = 54

Kількість  чисел-вертунів від 1 до 55 дорівнює 3*4/2=6.

4)Послідовність чисел-вертунів вигляду k**m+m**k, якщо 1<k,m< 5

  1 ^ 1 + 1 ^ 1 = 2

  1 ^ 2 + 2 ^ 1 = 3

  1 ^ 3 + 3 ^ 1 = 4

  1 ^ 4 + 4 ^ 1 = 5

  2 ^ 2 + 2 ^ 2 = 8

  2 ^ 3 + 3 ^ 2 = 17

  2 ^ 4 + 4 ^ 2 = 32

  3 ^ 3 + 3 ^ 3 = 54

  3 ^ 4 + 4 ^ 3 = 145

  4 ^ 4 + 4 ^ 4 = 512

Kількість  чисел-вертунів від 1 до 513 дорівнює 4*5/2=10.

5)Послідовність чисел-вертунів вигляду k**m+m**k, якщо 1<k,m< 6

  1 ^ 1 + 1 ^ 1 = 2

  1 ^ 2 + 2 ^ 1 = 3

  1 ^ 3 + 3 ^ 1 = 4

  1 ^ 4 + 4 ^ 1 = 5

  1 ^ 5 + 5 ^ 1 = 6

  2 ^ 2 + 2 ^ 2 = 8

  2 ^ 3 + 3 ^ 2 = 17

  2 ^ 4 + 4 ^ 2 = 32

  2 ^ 5 + 5 ^ 2 = 57

  3 ^ 3 + 3 ^ 3 = 54

  3 ^ 4 + 4 ^ 3 = 145

  3 ^ 5 + 5 ^ 3 = 368

  4 ^ 4 + 4 ^ 4 = 512

  4 ^ 5 + 5 ^ 4 = 1649

  5 ^ 5 + 5 ^ 5 = 6250

Kількість  чисел-вертунів від 1 до 6251 дорівнює 5*6/2=15.

6)Послідовність чисел-вертунів вигляду k**m+m**k, якщо 1<k,m< 7

  1 ^ 1 + 1 ^ 1 = 2

  1 ^ 2 + 2 ^ 1 = 3

  1 ^ 3 + 3 ^ 1 = 4

  1 ^ 4 + 4 ^ 1 = 5

  1 ^ 5 + 5 ^ 1 = 6

  1 ^ 6 + 6 ^ 1 = 7

  2 ^ 2 + 2 ^ 2 = 8

  2 ^ 3 + 3 ^ 2 = 17

  2 ^ 4 + 4 ^ 2 = 32

  2 ^ 5 + 5 ^ 2 = 57

  2 ^ 6 + 6 ^ 2 = 100

  3 ^ 3 + 3 ^ 3 = 54

  3 ^ 4 + 4 ^ 3 = 145

  3 ^ 5 + 5 ^ 3 = 368

  3 ^ 6 + 6 ^ 3 = 945

  4 ^ 4 + 4 ^ 4 = 512

  4 ^ 5 + 5 ^ 4 = 1649

  4 ^ 6 + 6 ^ 4 = 5392

  5 ^ 5 + 5 ^ 5 = 6250

  5 ^ 6 + 6 ^ 5 = 23401

  6 ^ 6 + 6 ^ 6 = 93312

Kількість  чисел-вертунів від 1 до 93313 дорівнює 6*7/2=21.

7) Послідовність чисел-вертунів вигляду k**m+m**k, якщо 1<k,m< 8

  1 ^ 1 + 1 ^ 1 = 2

  1 ^ 2 + 2 ^ 1 = 3

  1 ^ 3 + 3 ^ 1 = 4

  1 ^ 4 + 4 ^ 1 = 5

  1 ^ 5 + 5 ^ 1 = 6

  1 ^ 6 + 6 ^ 1 = 7

  1 ^ 7 + 7 ^ 1 = 8

  2 ^ 2 + 2 ^ 2 = 8

  2 ^ 3 + 3 ^ 2 = 17

  2 ^ 4 + 4 ^ 2 = 32

  2 ^ 5 + 5 ^ 2 = 57

  2 ^ 6 + 6 ^ 2 = 100

  2 ^ 7 + 7 ^ 2 = 177

  3 ^ 3 + 3 ^ 3 = 54

  3 ^ 4 + 4 ^ 3 = 145

  3 ^ 5 + 5 ^ 3 = 368

  3 ^ 6 + 6 ^ 3 = 945

  3 ^ 7 + 7 ^ 3 = 2530

  4 ^ 4 + 4 ^ 4 = 512

  4 ^ 5 + 5 ^ 4 = 1649

  4 ^ 6 + 6 ^ 4 = 5392

  4 ^ 7 + 7 ^ 4 = 18785

  5 ^ 5 + 5 ^ 5 = 6250

  5 ^ 6 + 6 ^ 5 = 23401

  5 ^ 7 + 7 ^ 5 = 94932

  6 ^ 6 + 6 ^ 6 = 93312

  6 ^ 7 + 7 ^ 6 = 397585

  7 ^ 7 + 7 ^ 7 = 1647086

Kількість  чисел-вертунів від 1 до 1647087 дорівнює 7*8/2=28

Олімпіада магічних головоломок

Cтворення магічних квадратів на сумах

 Дослідіть властивості наступних магічних квадратів і зобразіть їх у вигляді схеми

Створення моделей з орігамі

Орігамі - це самобутнє японське мистецтво створення моделей різних предметів, тварин, птахів, квітів шляхом згинання аркуша паперу. Ніхто не знає, хто саме і коли придумав орігамі і як були вироблені його неписані правила. Є навіть думка, що це мистецтво старше, ніж папір.

Перші фігурки орігамі виникли з мистецтва драпірування тканини при виготовленні традиційного японського одягу. Багато поколінь японців внесли в орігамі свій внесок, передаючи вміння складати плоский лист в чудесну фігурку.

З давніх часів орігамі виконувало різну роль у житті японців. Паперові фігурки супроводжували ритуальні ходи в синтоїстських храмах, витончені метелики прикрашали весільний стіл, самураї розважали дам на середньовічних балах, складаючи нехитрі фігурки, дбайливі родичі вивішували магічні паперові кулі над постіллю хворого, щоб вигнати злих духів.

Від покоління до покоління удосконалювалося стародавнє мистецтво, відбираючи для нащадків самі витончені, найвиразніші фігурки.

З часом орігамі вийшло з релігійних рамок і стало придворним мистецтвом. Їм могли займатися лише обрані, так як папір був рідкісним і вельми дорогим матеріалом. Уміння скласти з квадратного аркуша фігуру вважалося ознакою доброї освіти, вишуканих манер і витонченого смаку.

1. Відкриття паперу

У давнину китайці використовували для письма дерев'яні та бамбукові дощечки і шовк. Спосіб фіксації знань на дощечках був об'ємний і тому незручний (Відомий факт, коли літератор династії Хань (206 р. до н.е. - 220 р. н.е.) Дуфань Шо написав для імператора статтю на трьох тисячах деревних стовбурів). А шовк, хоч і був прекрасним матеріалом для письма, був занадто дорогим.

Тому в справу йшли навіть найменші його обрізки, які змочували і розтирали між каменями. Отриману кашку наливали на рівну поверхню і сушили під гнітом. Це була ще не папір в строгому сенсі слова, але вже крок до її виготовлення. Подібну технологію використовували і східні туркмени для виготовлення найтоншого повсті. Для цього вони розпускали у воді невеликі шматочки вовняної нитки. Їх потім відловлювали ситом, відкидаючи на спеціальний прес, віджимають і сушили.

До 3 в. до н.е. китайці замінили вовна і шовк більш дешевим і доступним матеріалом - рослинними волокнами, використовуючи для цього товчену кору тутового дерева і стебла бамбука. Вийшов зовсім новий матеріал-папір. Офіційною ж датою «появи» папери в Китаї вважається 105 р. до н.е., коли чиновник Цай Лунь зробив офіційний доповідь імператору про існування такої технології.

Висушені листки спресованого волокнистого матеріалу виявилися прекрасним матеріалом для письма. Імператор Хен Сюай навіть видав спеціальний указ, забороняє писати на дереві і що пропонує використовувати для письма тільки папір.

У VI-VII столітті н.е. в Китаї вже мали ходіння паперові гроші Фей-Тянь («Літаючі монети»). Ймовірно, це були перші паперові гроші в історії людства. У VI столітті н.е. в Китаї вже виготовляють справжні паперові книги.

Китайці ревно зберігали секрет виготовлення паперу, технологію її виробництва було заборонено вивозити за кордон. Однак, згідно з легендою, в початку VII ст. н.е. мандрівний буддійський монах Дан Хо, про який сучасники говорили, що він був «багатий знаннями і вмів робити папір і туш», добирається до Японії, де розкриває секрет бумагоделія. Сталося це, як стверджують «Японські хроніки» («Ніхонгі») у 610 році. А потому сторіччя японці вже виробляють свою власну папір, яка за якістю перевершує китайську.

Спочатку папір в Японії отримували з коконів шовкопряда. Їх варили, розкладали на циновку, промивали у річковій воді, перетирали в однорідну масу, яку після отцежіванія води сушили. Верхній шар, або шовкову вату, видаляли, а на циновці залишався тонкий волокнистий шар, який після висушування перетворювався на аркуш паперу.

Незабаром дорога сировина замінили більш дешевим - тими ж стеблами бамбука, деревною корою, коноплями, ганчір'ям. З'являється багато дрібних майстерень, виробляють папір. Перша велика паперова фабрика в Токіо виникла в 1870 м. До того часу в країні було вже більше 35 тисяч майстерень, де папір виготовляли вручну.

Старовинна технологія виробництва паперу зберігається в Японії і до сьогоднішнього дня. Майстрам, що опанував таємницями давніх ремесел, присвоюється звання «живе скарб» і виділяється значна стипендія. Разом з найбільшими фабриками, що виробляють щодня кілометри папери в рулонах, працюють маленькі майстерні, де виробляють вручну окремі дорогі аркуші паперу «ваші». Цей папір дуже міцна - вона витримує кілька тисяч згинів. На папері «ваші» після закінчення першої світової війни був підписаний Версальський договір про мир.

2. Виникнення орігамі

У давнину Китаї папір використовували самим різним чином, в т.ч. і в релігійних обрядах. Наприклад, спочатку було прийнято на похоронах разом з небіжчиком спалювати і весь його домашній скарб - щоб забезпечити йому подальший шлях на небесах. Однак пізніше з ощадливості реальні речі померлого були замінені спеціальними смужками паперу, на яких писалися лише їх назви (подібні смужки паперу з надрукованими побажаннями процвітання і щастя в наші дні можна купити в дріб'язкових крамницях Китаю). З паперу же виготовлялися та різноманітні корисні в побуті речі, на зразок знаменитих підвісних ліхтариків. При їх виготовленні використовувався і прийом складання. Однак складання фігурок з квадратних аркушів паперу не отримало в Китаї такого ж потужного розвитку, як в Японії. Ймовірно, це пояснюється тим, що японці використовували папір не тільки для письма, виробництва ширм, парасольок, вікон і навіть одягу, але і для наочної демонстрації деяких світоглядних ідей філософії дзен-буддизму.

Буддисти були перші, хто звернув увагу на дріб'язок і знищив поділ світу на високе і низьке (на відміну від західного зосередження на загальних законах, пристрасті до великого, що приводить до поділу мистецтв на високі і низькі, занять на важливі і не дуже). Вони звернули свою увагу на все, що неміцно, на мить, на найменшу дещицю, з чудовою метою - щоб зловити в ній, в дрібниці, подих вічності, бо у світі все пов'язане з усім.

Вони шукали в простому прояви єдиної і неподільної істини - макото - бо будь-яка малість містить її, і треба вміти її, Істину, там виявити.

Буддизм взагалі шукав істину в багатьох напрямках, і кожен прийняв його народ знаходив свій особливий шлях до неї. Говорячи про шляхи в буддійському розумінні, варто підкреслити, що різні шляхи до Істини в ньому не конкурували між собою, а скоріше доповнювали один одного, тому що всі вели в єдиному напрямку - до єдиної і неподільної Істини. У цьому сенсі Схід не знав релігійного фанатизму Європи.

Японські буддисти розробили вражаючої сили способи, що дозволяють побачити Істину. Вони відкрили найвірніший її ознака: красу. Японська гілка буддизму пішла шляхом непомітного, обрала красу показником істини. На цьому шляху японці відкрили красу недовговічності, простих речей, нальоту часу на речах.

Ось чому орігамі не народилося, наприклад, в Китаї, де також був розквіт дзен - (кит. Чань) буддизму. Китайці шукали істину в іншому напрямку, там не існувало бі-до - шляхи краси, тобто уявлення про красу, як шляху до Істини.

Взагалі ж красу, приховану в речах, японці відкрили в IX-XII століттях, в епоху Хейан (794-1185 рр.) і навіть позначили особливим поняттям «моно-но-аварії». Це відкриття йде від синто, віри в те, що кожна річ, кожне явище, навіть слова, містять в собі ками - божество. Синтоїзм, взагалі, дуже схожий на наш язичництво. Для синтоїстів ками живе, поселяється особливо охоче у всьому, що незвично. Наприклад, в папері. А тим більше в закрученому в мудрований зигзаг гохей, який висить і сьогодні перед входом в синтоїстські святилища і вказує на присутність божества в храмі. Існує 20 варіантів складання гохей, і ті, які складені особливо незвично, привертають ками.

З IX століття в Японії живе звичай зміцнювати гохей на поясах борців сумо перед початком сутички.

До цих пір складають у Японії ката-сиро - вісім ляльок з білого паперу, яких розставляють для запобігання нещасть по всіх восьми напрямках простору; складають гофу - паперові амулети; та нагасі-біна - символ сімейної гармонії: він і вона в паперовому кімоно на круглому ложе. Для вигнання злих духів і очищення храмів синтоїсти досі користуються харам-гуси - мітелкою, складеної з смужок білого паперу. Взагалі роль паперу в синто дуже велика, і виробам з неї надається езотеричний сенс.

У періоди Камакура (1185-1333 рр.) І Муроматі (1333-1573 рр.) Орігамі виходить за межі храмів і досягає імператорського двору. Аристократія і придворні повинні були володіти певними навичками і в мистецтві складання. Записки, складені у формі метелика, журавля, чи квітки абстрактної геометричної фігури були символом дружби чи доброго побажання для коханої людини. Ними вдавалося часом виразити більше уваги, любові, ніж це можна було зробити словами. Вміння складати стало одним з ознак хорошого освіти і вишуканих манер. Різні знатні родини використовували фігурки орігамі як герб і печатку. Придворна дама Мурасакі Сікібу, що жила в XI ст, згадує в своїй книзі «Гандзі моно гатарі» («Повість про блискучого принца Гандзі») про різновиди орігамі-мистецтві складання листів, коли сам лист перетворювалося в хитромудрий конверт з прикрасою.

У періоди Адзути-Момояна (1573-1603 рр.) І Едо (1603-1867 рр.) Орігамі з церемоніального мистецтва перетворилося на популярне проведення часу.

Тоді папір перестала бути предметом розкоші і орігамі початок поширюватися і серед простого народу. Саме тоді, триста-чотириста років тому, винаходиться ряд нових фігурок, які пізніше стають класичними. Серед них і японський журавлик (цуру) - традиційний японський символ щастя і довголіття. Мистецтво орігамі в Японії стало традицією, яка передається з покоління в покоління в основному по жіночій ліній.

Історики орігамі стверджують, що за манерою складання та набору фігурок можна було визначити провінцію Японії, в якій виросла і навчалася дівчина.

Отже, до появи орігамі причетний синтоїзм, який звернув увагу буддистів на таємницю аркуша паперу. Важливим виявилося також і схожість звучання японських слів «папір» і «божество» - «камі». В уявленнях японців виникла якась містична зв'язок між релігійними ритуалами та виробами з складеного паперу. Не випадково перші орігамі з'являються в синтоїстських храмах. Один з ритуалів з їх використанням полягав у виготовленні невеликих паперових коробочок Санбо, які наповнювали шматочками риби і овочів, підносячи їх у якості жертвоприношень богам.

3. Перші книги з орігамі

Першим японським виданням з орігамі вважається книга «Семба-цуру оріката», яка вийшла у світ в 1797 р. Переклад її назви «як скласти тисячі журавлів «явно натякає на старовинну легенду, яка стверджує, що тисяча складених класичних паперових птахів допомагає здійснити бажання. Книга цілком присвячена складанню однієї-єдиної моделі - журавлика.

Різноманітність ж 49 ввійшли в її моделей будується на різному поєднанні журавликів між собою. Наприклад, вони можуть мати вигляд гірлянди, в якій фігурки з'єднані кінчиками крил або дзьобами. Для складання такої конструкції роблять заготовки з смуг або прямокутників з недоведення до кінця надрізами, які перетворюють заготовки в набори квадратиків. Автором «Сембадзуру оріката» вважається настоятель храму Рока. У тому ж 1797 р. він випустив книгу «Чашінгура оріката», в якій було показано, як за допомогою складання і ножиць зробити з паперу головних персонажів популярної у той час п'єси «Чашінгура».

У 1845 р. в Японії видається книга «Кан-но-Мадо», що в літературному перекладі означає «зимовий вікно», або точніше «вікно середини зими». Вона включає інструкції, здебільшого словесні, як складати кілька десятків класичних фігурок з паперу та графічні ілюстрації готових моделей.

Знавці історії орігамі стверджують, що саме в «Кан-но-Мадо» вперше друкується схема складання базової форми «жаба» і самої фігурки на цій основі. Поява цієї книги в період Токугава (1603-1867 рр.) не випадково.

Саме цей час характеризується початком «демократизації» орігамі - перетворення цього заняття з ритуально-храмового дійства у популярний дозвілля.

Назва книги вказує на орігамі як на заняття, за допомогою якого можна приємно скоротати довгий зимовий вечір. Але є й інше тлумачення назви - як натяк на світло скромних знань, які можна з неї почерпнути.

У 1879 р директор школи для дівчаток Саки Нобузоу зробив для своїх маленьких учениць книгу з орігамі, що містить інструкцію складання 20 нескладних класичних фігурок. У 1885 р Окамото Консекі видав книгу для дітей по орігамі «Оріката», яка пізніше була переведена на англійську мову.

4. Поширення орігамі по світу

Новий етап у розвитку орігамі почався після другої світової війни і пов'язаний з ім'ям знаменитого японського майстра Акіро Йошізава. Він народився в 1911 г. і зіграв в історії орігамі унікальну роль. За допомогою винайдених ним нескладних умовних знаків (див. додаток 1) процес складання будь-якого виробу виявилося можливим представити у вигляді серії малюнків-креслень. Акіро Йошізава винайшов сотні нових, раніше не відомих, фігурок. Він не тільки довів, що мистецтво складання може бути авторським, але і сприяв його найширшому поширенню. Протягом декількох років Японське міністерство закордонних справ посилало його в численні поїздки по країнах Європи, тому що розвинене і підтримане їм традиційне японське мистецтво стало міжнародним засобом миру і дружби без слів.

На початку XX століття Японія широко відкрила двері решті світу, і європейці почали знайомитися з класичними фігурками, виконаними в техніці орігамі: жабою, рибою, журавлики, квіткою ірису.

Однак було б абсолютно несправедливо стверджувати, що Європа до цього часу була абсолютно незнайома зі складанням. Іспанія може похвалитися своїм власним, незалежним, відкриттям деяких фігурок, наприклад пташки - «Пахаріти». Так називається древня класична фігурка, що стала символом орігамі в Іспанії. Відомий орігамісти Вінсенте Паласіос счтітает, що багато вказує на появу цієї моделі вперше в Толедо в XII в. Якщо це припущення вірне, то, без сумніву, Пахаріта є першою традиційної складеної європейської фігуркою (можливо, однією з перших у всьому світі).

Перші згадуються в стародавніх європейських документах млини, виготовляють папір, існували в Толедо вже в XII столітті (в Італії вони з'явилися на століття пізніше). Саме слово «Пахаріта» (букв. - птах) стосовно до фігуркам має в Іспанії два значення - назва конкретної моделі, або взагалі будь-яка фігурка, складена з паперу. Саме мистецтво складання фігурок з паперу називається в Іспанії «робити пахаріти», а самі фігурки - «різні інші пахаріти». Зберігся датований 1563 роком малюнок Антона Ван Дер Вінгерде «Астрологічний квадрат, що перетворюється в пахаріти, на тлі м. Толедо».

І все ж папір був матеріалом рідкісним і дорогим. Найчастіше (в Європі) складали тканина - коміри (в костюмах XVI-XVII ст.), чіпці та інші головні убори, які носили сестри милосердя, черниці, покоївки.

В початку XIX століття німецький педагог, творець перших дитячих садів Фрідріх Фребель вперше почав пропагувати складання з паперу як дидактичний метод для пояснення дітям деяких простих правил геометрії.

Можливо, саме з його подачі школярі різних країн світу тепер знайомі з невеликим набором «фольклорних» фігурок з паперу.

Любителем орігамі був Льюїс Керрол - автор «Аліси в Країні Чудес» і «Аліси в Задзеркаллі», який викладав математику в Оксфорді. Записи в щоденнику Керрола свідчать про те, яке захоплення охопив його, коли він навчився складати з паперу іграшку, що видаються при сильному помаху нею гучний бавовна.

Умів складати фігурки з паперу і російський письменник Лев Толстой. У чернетці до статті «Що таке мистецтво» він пише: «Нинішньої зими одна мама навчила мене робити з паперу, складаючи і вивертаючи її відомим чином, півників, які, коли їх смикаєш за хвіст, махають крилами. Вигадка ця від Японії. Я багато разів робив цих півників дітям, і не тільки діти, але завжди всі присутні великі, що не знали цих півників, і панове, і прислуга веселить і зближувалися від цих півників, всі дивувалися і раділи: як схоже на птахів ці півники махають крилами. Той, хто вигадав цього півника, від душі радів, що йому так вдалося зробити подобу птиці, і почуття це передається, і тому, як не дивно сказати, твір такого півника є справжнє мистецтво».

Видатний іспанський поет і філософ Мігель де Унамуно написав пародійносерйозний трактат з орігамі, і придумав новий особливий спосіб складання паперу, що дозволив йому створити багато нових забавних фігурок. Опис тих фігурок, які він складав за чашкою кави, можна знайти в англійському перекладі його «Нарисів і монологів» (M. Unamuno, Essays and Soliloquies, Knopf, 1925). Ортега-і-Гарсет в книзі про свого друга Унамуно розповідає, як одного разу філософ склав з паперу кілька фігурок для маленького хлопчика, який запитав його, розмовляють між собою пташки.

У 1937 р. У Лондоні виходить у світ книга Маргарет Кемпбелл «Виготовлення паперових іграшок», в якій вперше згадуються три традиційні на сході базові форми - «водяна бомбочка», «птах», «жаба». У 1946 р. схема складання класичного японського журавлика публікується в одному з англійських дитячих журналів.

5. Композиції з паперу

Складання квітів з паперу - заняття захоплююче. А складання композицій з квітів - справжня творчість, де все залежить від смаку і фантазії художника. Квіти і листя до них можна скласти за кресленнями. У такій композиції передається настрій, сприйняття світу, душа.

Композиції запропоновані вашій увазі, те саме що мистецтву ікебани. Це синтез традиції і фантазії, спроба відтворити з паперу чудовий куточок живої природи, де квіти і трави ростуть, буйствують, а не зрізані і зібрані в букет.

Опорою рослинам і оригінальним декором служать паперові трубочки.

Мова квітів, як і мова орігамі, міжнародний. Безмовний, зрозумілий і доступний кожному, він покликаний дарувати людям мир і любов, добро і взаєморозуміння, радість і натхнення.

Щоб скласти лілію або чотирилисник, спочатку необхідно скласти базову форму «подвійної квадрат».

Потрібно скласти квадрат паперу навпіл, щоб вийшов прямокутник.

Необхідно розгорнути аркуш і повернути його. Зробити те ж саме ще раз.

Знову розгорнути аркуш. Перегнути по діагоналі. Перевернути лист на іншу сторону і перегнути за іншою діагоналі (вийшов квадрат з лініями згину «Горою» і лінією згину «долиною», як на рис. 1.). Акуратно розгорнути аркуш і натиснути пальцем на центр. Папір сама складеться в «подвійний квадрат».