пʼятниця, 10 вересня 2021 р.

Інформація про числа-вертуни

 Інформація про числа-вертуни


Теорема. Кількість чисел-вертунів вигляду k^m+m^k, якщо 1<k,m< p, 

дорівнює р(р-1)/2.

Для доведення цього факту можна використати таблицю розміром (р-1)х

(р-1). Записати у  клітинки числа-вертуни  і порахувати кількість клітинок

Наприклад, для чисел  k^m+m^k, якщо 1<k,m< 8, 

p=8k=1k=2k=3k=4k=5k=6k=7
m=1
m=2
m=3
m=4
m=5
m=6
m=7

 

Покажемо випадки, коли р={2,3,4,5,6,7}

1)Послідовність чисел-вертунів вигляду k**m+m**k, якщо 1<k,m< 2

  1 ^ 1 + 1 ^ 1 = 2- просте, парне число.

кількість  чисел-вертунів від 1 до 3 дорівнює 1.


2)Послідовність чисел-вертунів вигляду k**m+m**k, якщо 1<k,m< 3

  1 ^ 1 + 1 ^ 1 = 2

  1 ^ 2 + 2 ^ 1 = 3

  2 ^ 2 + 2 ^ 2 = 8

Kількість  чисел-вертунів від 1 до 9 дорівнює 2*3/2=3.


3)Послідовність чисел-вертунів вигляду k**m+m**k, якщо 1<k,m< 4

  1 ^ 1 + 1 ^ 1 = 2

  1 ^ 2 + 2 ^ 1 = 3

  1 ^ 3 + 3 ^ 1 = 4

  2 ^ 2 + 2 ^ 2 = 8

  2 ^ 3 + 3 ^ 2 = 17

  3 ^ 3 + 3 ^ 3 = 54

Kількість  чисел-вертунів від 1 до 55 дорівнює 3*4/2=6.


4)Послідовність чисел-вертунів вигляду k**m+m**k, якщо 1<k,m< 5

  1 ^ 1 + 1 ^ 1 = 2

  1 ^ 2 + 2 ^ 1 = 3

  1 ^ 3 + 3 ^ 1 = 4

  1 ^ 4 + 4 ^ 1 = 5

  2 ^ 2 + 2 ^ 2 = 8

  2 ^ 3 + 3 ^ 2 = 17

  2 ^ 4 + 4 ^ 2 = 32

  3 ^ 3 + 3 ^ 3 = 54

  3 ^ 4 + 4 ^ 3 = 145

  4 ^ 4 + 4 ^ 4 = 512

Kількість  чисел-вертунів від 1 до 513 дорівнює 4*5/2=10.


5)Послідовність чисел-вертунів вигляду k**m+m**k, якщо 1<k,m< 6

  1 ^ 1 + 1 ^ 1 = 2

  1 ^ 2 + 2 ^ 1 = 3

  1 ^ 3 + 3 ^ 1 = 4

  1 ^ 4 + 4 ^ 1 = 5

  1 ^ 5 + 5 ^ 1 = 6

  2 ^ 2 + 2 ^ 2 = 8

  2 ^ 3 + 3 ^ 2 = 17

  2 ^ 4 + 4 ^ 2 = 32

  2 ^ 5 + 5 ^ 2 = 57

  3 ^ 3 + 3 ^ 3 = 54

  3 ^ 4 + 4 ^ 3 = 145

  3 ^ 5 + 5 ^ 3 = 368

  4 ^ 4 + 4 ^ 4 = 512

  4 ^ 5 + 5 ^ 4 = 1649

  5 ^ 5 + 5 ^ 5 = 6250

Kількість  чисел-вертунів від 1 до 6251 дорівнює 5*6/2=15.


6)Послідовність чисел-вертунів вигляду k**m+m**k, якщо 1<k,m< 7

  1 ^ 1 + 1 ^ 1 = 2

  1 ^ 2 + 2 ^ 1 = 3

  1 ^ 3 + 3 ^ 1 = 4

  1 ^ 4 + 4 ^ 1 = 5

  1 ^ 5 + 5 ^ 1 = 6

  1 ^ 6 + 6 ^ 1 = 7

  2 ^ 2 + 2 ^ 2 = 8

  2 ^ 3 + 3 ^ 2 = 17

  2 ^ 4 + 4 ^ 2 = 32

  2 ^ 5 + 5 ^ 2 = 57

  2 ^ 6 + 6 ^ 2 = 100

  3 ^ 3 + 3 ^ 3 = 54

  3 ^ 4 + 4 ^ 3 = 145

  3 ^ 5 + 5 ^ 3 = 368

  3 ^ 6 + 6 ^ 3 = 945

  4 ^ 4 + 4 ^ 4 = 512

  4 ^ 5 + 5 ^ 4 = 1649

  4 ^ 6 + 6 ^ 4 = 5392

  5 ^ 5 + 5 ^ 5 = 6250

  5 ^ 6 + 6 ^ 5 = 23401

  6 ^ 6 + 6 ^ 6 = 93312

Kількість  чисел-вертунів від 1 до 93313 дорівнює 6*7/2=21.


7) Послідовність чисел-вертунів вигляду k**m+m**k, якщо 1<k,m< 8

  1 ^ 1 + 1 ^ 1 = 2

  1 ^ 2 + 2 ^ 1 = 3

  1 ^ 3 + 3 ^ 1 = 4

  1 ^ 4 + 4 ^ 1 = 5

  1 ^ 5 + 5 ^ 1 = 6

  1 ^ 6 + 6 ^ 1 = 7

  1 ^ 7 + 7 ^ 1 = 8

  2 ^ 2 + 2 ^ 2 = 8

  2 ^ 3 + 3 ^ 2 = 17

  2 ^ 4 + 4 ^ 2 = 32

  2 ^ 5 + 5 ^ 2 = 57

  2 ^ 6 + 6 ^ 2 = 100

  2 ^ 7 + 7 ^ 2 = 177

  3 ^ 3 + 3 ^ 3 = 54

  3 ^ 4 + 4 ^ 3 = 145

  3 ^ 5 + 5 ^ 3 = 368

  3 ^ 6 + 6 ^ 3 = 945

  3 ^ 7 + 7 ^ 3 = 2530

  4 ^ 4 + 4 ^ 4 = 512

  4 ^ 5 + 5 ^ 4 = 1649

  4 ^ 6 + 6 ^ 4 = 5392

  4 ^ 7 + 7 ^ 4 = 18785

  5 ^ 5 + 5 ^ 5 = 6250

  5 ^ 6 + 6 ^ 5 = 23401

  5 ^ 7 + 7 ^ 5 = 94932

  6 ^ 6 + 6 ^ 6 = 93312

  6 ^ 7 + 7 ^ 6 = 397585

  7 ^ 7 + 7 ^ 7 = 1647086

Kількість  чисел-вертунів від 1 до 1647087 дорівнює 7*8/2=28