пʼятниця, 20 березня 2015 р.

Магічні трикутники на сумах та добутках

понеділок, 9 лютого 2015 р.

Правила для стратегічних рішень у проблемних ситуаціях

Правила для стратегічних рішень у проблемних ситуаціях

Математики весь час намагаються описати наше життя як формулу. Часом виходить дуже переконливо. Але це тільки до тих пір, поки в гру не вступають чисто людські якості - совість, довіра, жага справедливості, егоїзм, альтруїзм. Тут математика перестає працювати і починається як мінімум психологія. Ми відібрали десять найяскравіших інтелектуальних ігор, в основі яких життя у всьому різноманітті її проявів

1. Математична гра «Дилема ув'язненого»: свідчити або мовчати?

Правила: «Уявіть, що ви спробували пограбувати банк. Але, на жаль, вас і вашого подільника зловили і розсадили по різних камерах. Слідчий пропонує угоду: ви даєте свідчення проти свого напарника і тоді отримуєте шанс на звільнення за допомогу слідству. У вас є чотири варіанти дій.

1. Ви погоджуєтеся і даєте свідчення. Ваш напарник мовчить. Тоді він отримує десять років, а ви виходите на свободу.

2. Ви колеться, і ваш напарник колеться. Тоді ви обидва отримуєте по два роки.

3. Ви гордо мовчите, але ваш напарник дає свідчення. Тоді на свободу виходить він, а ви отримуєте десять років.

4. Ви обоє мовчите, і через шість місяців вас відпускають за браком доказів.

І що ви обираєте? Слідчий уже відкриває двері вашої камери ...

Історія та застосування

Базову модель «Дилеми ув'язненого» запропонували в 1950 році американські математики Меррил Флад і Мелвін Дрешер, що працювали на дослідницьку корпорацію RAND. Ця гра була потрібна для прогнозування гонки ядерних озброєнь - в ролі ув'язнених виступали СРСР і США.

З тих пір гра стала дуже популярна серед математиків, філософів і психологів. Виходячи з військово-кримінальної обкладинки, можна виявити і багато інших прикладів. Ту ж гонку озброєнь зараз дуже нагадують рекламні кампанії. Постійне змагання в кількості рекламного контента неухильно збільшує витрати фірм. Відповідно, від припинення гонки виграли б усі сторони. Але якщо хтось віроломно порушить перемир'я, він виграє війну за споживача, а інші програють.

У США навіть проводилися змагання між командами університетів на кращу запрограмовану стратегію гри в «Дилему ув'язненого», де перемога присуджувалася за мінімальний термін ув'язнення за підсумками декількох раундів допитів. Перемогла програма, заснована на принципі «око за око»: вона надходила з кожним своїм напарником в точності так, як з нею надійшли ходом раніше. Але це все-таки математика, людське життя куди складніше.

Людські якості

У реальності ви навряд чи будете грабувати банки. А російські слідчі не стануть пропонувати такі угоди. Це модель, притча, метафора людських відносин.

Щоб сумарна покарання було найменшим, вигідніше мовчати обом. Тоді загальний термін відсидки складе всього рік - набагато менше, ніж при будь-якому іншому сценарії. Але наскільки ви довіряєте тому, з ким йшли на діло? А він вам? І що для вас означають його інтереси? Якою мірою ви готові ризикувати?

Основна проблема «Дилеми ув'язненого» - довіра. Саме через небажання довіряти іншому і виникає конфлікт інтересів, який звели в абсолют, наприклад, сценаристи серії хоррорів «Пила». Так, у п'ятій частині герої можуть звільнитися в прямому сенсі малою кров'ю, щоб вибратися з пастки. Але замість цього вони починають змагатися, що призводить до загибелі більшості з них.

---------------------------------------------------------

2. «Ультиматум»: скільки ви готові заплатити за справедливість?

Правила

Двом гравцям пропонується розділити між собою деяку суму грошей, припустимо 1000 рублів. Перший з них, що подає, пропонує свій варіант поділу, наприклад кожному по 500 рублів, або йому 800, а напарнику - 200 і т. Д. Другий гравець, який приймає, може або погодитися на запропоновані умови і отримати свою частку, або відкинути схему розділу . У другому випадку ніхто грошей не отримує - вони йдуть назад в банк.

Історія та застосування

Правила цієї гри вперше були сформульовані в 1982 році в Journal of Economic Behaviour and Organization для опису процесу переговорів. Проста в моделюванні і парадоксальна в результатах, вона швидко стала улюбленим об'єктом дослідження для вчених усього світу. Гра «Ультиматум» підходить під багато життєві ситуації. Наприклад, коли вирішується питання, яку частину прибутку пустити на зарплату співробітникам, а яку віддати власникам фірми.

Людські якості

Що б ви зробили на місці приймаючого? Якщо виходити з раціональності, то треба погоджуватися на будь-який варіант розділу грошей. Навіть якщо подаючий хоче забрати собі 990 рублів, все одно сперечатися не варто: 10 рублів все-таки більше, ніж нуль. Але крім раціональності є ще й справедливість.

У сотнях проведених експериментів подають найчастіше пропонують своїм напарникам від 50 до 30%. Десь в інтервалі від 30 до 20% приймаючі починають відмовлятися від угоди, вибираючи принцип «Так не діставайся ж ти нікому!».

Розуміння справедливості залежить від культури. Перуанські індіанці, наприклад, були схильні приймати практично будь-які пропозиції, а жителі Азії виявилися набагато педантично і незговірливість американців. В одному з експериментів, проведених в Індонезії, випробовувані відмовлялися навіть від сум, що становлять кілька їх місячних зарплат.

Взагалі, психологи чимало говорили на тему гри «Ультиматум». Виявилося, що на результати експерименту впливає безліч факторів: сексуальне збудження, вік, ступінь агресивності, рівень тестостерону і так далі.

У 2003 році в журналі Science з'явилася стаття про дослідження, в якому роботу головного мозку гравців у «Ультиматум» безперервно відстежували за допомогою МРТ. Виявилося, що у приймаючого після одержання пропозиції активізуються острівна частина головного мозку, верхні області лобової кори і поясна звивина. Перша з цих областей вважається відповідальною за обробку і формування негативної емоційної інформації, а інші дві - за когнітивні процеси самоконтролю і вибору. Результат цього протистояння стародавнього механізму емоцій і придбаного раціонального мислення і визначає остаточне рішення.

Експерименти дали несподівані результати. Піддослідним штучно блокували роботу раціональної лобової кори. Здавалося б, відпущені на свободу емоції повинні в сказі відкидати все несправедливі пропозиції. Але вийшло навпаки: гравці стали набагато більш поступливими і податливими, емоції гніву та образи поступилися вродженому почуттю наживи. Виходить, що та сама раціональна діяльність лобової кори і призводить до відхилення від розумної математичної стратегії, а уявлення про честь і справедливості змушують людей приймати виважено-невигідне рішення. Недарма в експериментах, проведених на групах аутистів, відсоток відмов був значно нижче. Позбавлені соціальних забобонів, вони набагато частіше слідували ідеальної математичної моделі.

- Взаємодія когнітивних і емоційних механізмів прийняття рішення і визначає раціональну поведінку людини, а порушення в будь-якому з них призводить до вибору неоптимальних стратегій. Ці дві системи також можуть конфліктувати, результатом чого є безліч прикладів, коли утилітарне мислення приводило до жахливих наслідків і прямо суперечило нормам моралі, - пояснює Анна Шестакова, старший науковий співробітник Центру нейрокогнітивних досліджень МГППУ.

3. «Трагедія громадського пастбища»: якщо всі вчинять так.

Правила

Жителі села володіють загальним пасовищем. Якщо кожен буде пасти на ньому одну корову, то нічого страшного, трави вистачить. Якщо хтось захоче завести другу, то начебто теж все нормально: поле щось велике. Але якщо кожен стане випасати по дві корови, то трави на полі не вистачить, пасовище виснажиться, почнеться голод.

Історія та застосування

Цю модель запропонував Вільям Форстер Ллойд в 1833 році в книзі, присвяченій перенаселення.

- Ця трагедія громад часто відбувається в житті - розігрується класичний сценарій з теорії ігор. Прикладів тому маса: екологічні проблеми, пробки на дорогах - будь-яке місце, де людині здається, що на халяву можна непомітно нажитися за рахунок суспільства, - пояснює професор РЕШ Олексій Саватєєв.

За прикладами далеко йти не треба. У Москві, де пробки стали колосальною проблемою, а екологічна обстановка погіршується рік від року, жителі наполегливо ігнорують громадську акцію «День без автомобіля», що проходить з 2008 року. Більш того, за деякими даними, саме в цей день кількість заторів на дорогах особливо велике.

Статті з різними модифікаціями цієї гри з'являються в провідних наукових журналах типу Science і в наш час. Наприклад, є варіант експерименту під назвою «Суспільне благо». Ось як його описують вчені з Вищої школи економіки Діляра Валєєва і Марія Юдкевич: «Кожен з учасників спочатку наділяється певною сумою грошей. Кожен повинен приватно вирішити, яку частку цих особистих грошей він може інвестувати в суспільне благо. Вкладені в суспільне благо гроші збільшуються в кілька разів і діляться порівну. Група отримає максимальну вигоду, якщо кожен учасник інвестує всю свою початкову суму грошей. Однак гравці можуть ухилятися від вкладення своїх грошей в громадські підприємства. У рівновазі, передбаченою теорією, кожен учасник вносить нульовий внесок. У реальних експериментах результат, як правило, іншою: гравці вкладають певну суму в суспільне благо».

Людські якості

Ми не вважаємо гріхом нанести невелику шкоду природі або суспільству. «Від одного кинутого папірця світ не обвалиться» - так міркує перехожий, і міста заростають горами сміття.

Соціологи і психологи вже давно намагаються зрозуміти, як змусити людей бути більш альтруїстичними. Один з методів - залучення людини в процес, що дає йому відчуття гордості за принесене благо чи скорочення шкоди. Наприклад, на Літній школі «Українського репортера» студентам пропонують зробити внесок у розмірі від 150 до 600 гривень на добу - залежно від фінансових можливостей. Якщо якась частина учасників внесе мінімальний внесок, нічого страшного не станеться. Але якщо так зроблять всі, то Літня школа буде приречена на брак їжі та інші проблеми. Схоже, нас рятує відчуття причетності: «Це мій проект, я за нього теж відповідаю». Принаймні, останні кілька років середній внесок був удвічі більше мінімального.

З тієї ж серії поширення музики через Інтернет. Деякі групи пропонують завантажити свої твори безкоштовно, а потім, прослухавши, заплатити будь-яку суму. Якщо не заплатить ніхто, групі не на що буде записувати новий альбом.

Деякі економісти вважають, що саме за такими схемами майбутнє, принаймні в галузі розповсюдження музики, книг і кіно. Наприклад, професор Вищої школи економіки Олександр Долгін вводить поняття «постфактумні благодійні платежі». У його схемі економіка майбутнього зуміє перемогти халявщиків за рахунок публічності оцінки. Якщо я прочитав книгу або подивився фільм, я повинен виставити свою особисту оцінку - в якій мірі мені це сподобалося. І буде нелогічно, якщо я поставлю вищий бал і при цьому не пожертвую автору значну суму.

4. «Проблема кількості смертей»: чи можна з гуманізму вбити людину?

Правила

На залізниці ось-ось станеться аварія. Вагонетка, наповнена пасажирами, котиться в прірву. У вас є можливість її врятувати. Для цього треба своїми руками зіштовхнути на рейки вгодованого дорожнього робітника, який випадково опинився поруч. Людина загине. Але десятки життів буде врятовано. Ви готові? Тоді, чому людина обирає смертельну у боротьбі за незалежність та інтереси суспільства?

Історія та застосування

Оригінальна формулювання цієї болісної дилеми була запропонована в 1967 році британським філософом Філіппом Фут в якості уявного експерименту з етики. За минулі роки з'явилося чимало модифікацій. Ви вбиваєте одного і рятуєте трьох. Ви вбиваєте дитину і зберігаєте життя десятьом. Є навіть пронизливий короткометражний фільм, в якому стрілочник повинен вибрати: розчавити власного сина конструкціями моста або допустити аварію потягу з сотнями пасажирів.

Найпоширеніше місце застосування цієї дилеми, звичайно, військові дії. Залишаючи взвод із прикривати відступ полку, командир відправляє на вірну смерть тридцять чоловік, але дає шанс тисячам вижити. Але ж така ситуація може трапитися і на реальній залізниці. Або під час пожежі. Або десь ще.

Не обов'язково має йтися про життя і смерть. Уявіть, що ви керівник відділу, якому потрібно звільнити одного співробітника, щоб зберегти весь колектив. Або ви ведете урок в школі, і вам доводиться накричати на одну дитину, щоб увесь інший клас міг спокійно займатися.

Людські якості

У цій грі дуже мало математики: десять - це більше, ніж один, це навіть першокласник знає. Зате психології з етикою в цій дилемі навалом. Заповідь «Не убий!» Вступає в протиріччя з цінністю збереження життя. До речі, у короткометражному фільмі про стрілочника головний герой все-таки жертвує своїм сином і потяг з нічого не підозрюють пасажирами спокійнісінько їде далі.

В експерименті, проведеному психологами з Університету Мічигану, випробуваним пропонувалася реалістична тривимірна модель з вагонеткою, шляхами і необхідністю погубити одного, щоб врятувати п'ятьох. Близько 90% учасників переводили стрілку і вбивали людину заради пасажирів вагонетки. Але це все-таки комп'ютерна реальність, а не справжнє життя.

5. «Яструби і голуби»: нападати або бігти

Правила

В одній популяції тварин співіснують дві групи з різними стратегіями боротьби за ресурси. Перші, «яструби», завжди налаштовані на конфлікт і при зустрічі з конкурентом йдуть до кінця. В результаті вони або виграють і привласнюють всі ресурси в околицях (+50 балів), або програють і отримують в бійці важкі каліцтва (-100 балів). «Голуби», навпаки, налаштовані миролюбно. Побачивши «яструба», вони відразу відступають (0 очок «голубу» і 50 очок «яструб»), а при зустрічі зі своїми родичами лише зображують готовність до сутички. Після тривалого обміну погрозами (-10 балів обом «голубам») ресурси дістаються більш щасливому «голубу» (+50 балів).

Є багато інших варіацій правил, але основні риси гри зберігаються незмінними: перемога приносить будь-якому птаху середню кількість очок, отримання каліцтв у «яструбів» прирівнюється до величезного штрафу, а ритуальні битви «голубів» теж вимагають деяких мінімальних витрат.

Мета гри гранично проста: заробити максимальну кількість очок, що б за ними не ховалося - їжа, гроші, самки або «представленість генів індивідуума в генофонді популяції», як висловлюється Річард Докінз у своїй книзі «Егоїстичний ген».

Історія та застосування

Правила гри були вперше опубліковані в журналі Nature в 1973 році. Автори роботи запропонували так формалізувати конфлікти тварин за ресурси, територію або сексуальних партнерів. Модель дозволяє по співвідношенню стратегій в популяції розрахувати кількість ресурсів, що витрачаються і одержуваних особинами при тому чи іншому варіанті взаємодій. Пташину метафору запозичили з геополітичного сленгу того часу («яструби» - за жорстке протистояння з противником, «голуби» - за розрядку і компроміси).

«Яструби і голуби» з'явилися як розвиток гри, в якій два водія несуться назустріч один одному. Переможеним вважався той, хто першим злякається лобового зіткнення і відійде в сторону.

Людські якості

- Ми спробували відійти від класичної теорії ігор, в якій набір можливих стратегій малий і жорстко заданий, - розповідає Михайло Бурцев, керівник лабораторії нейроінтеллекта і нейроморфних систем Курчатовського інституту. У 2007 році він разом зі своїм керівником Петром Турчиним опублікував в Nature статтю, в якій описувалося, як стратегії «яструбів» і «голубів» виникають природним шляхом в процесі еволюції комп'ютерної моделі.

- Ми створили віртуальний світ, заселений агентами, які здійснюють примітивні дії, які могли бути скомбіновані в більш складні стратегії. Поведінка окремої агента управлялося власної нейронною мережею. Це дозволило нам відкрити такі стратегії, які в стандартній теорії ігор в голову не приходило досліджувати, - пояснює Михайло.

Так в процесі еволюції цього комп'ютерного світу в ньому з'явилися свої миролюбні «голуби», «яструби», які нападають на всіх чужаків, і навіть «шпаки», що збираються в зграї перед лицем небезпеки. Але найцікавіше - що у цих математичних агентів стали проявлятися піднесені людські почуття: турбота про родичів, самопожертва і альтруїзм.

субота, 10 січня 2015 р.

Множення чисел на палочках Непера

http://all-ht.ru/inf/history/p_0_12.html

https://www.facebook.com/100009439936966/videos/1997487383909240/

Палочки Непера

В книге, изданной в 1617 году, шотландский ученый Джон Непер описал способ умножения с помощью палочек, который в дальнейшем получил название «Палочки Непера». В основу этого устройства лег принцип умножения решеткой, широко распространенный в XVII веке.

Для умножения решеткой использовалась таблица, содержащая столько столбцов, сколько разрядов у множимого, и столько строк, сколько разрядов у множителя. Над столбцами таблицы записывается множимое так, чтобы разряды числа находились каждый над своим столбцом. Справа от таблицы записывался множитель так, чтобы каждый разряд числа был напротив своей строки. При этом старший разряд записывался напротив верхней строки. В каждую ячейку таблицы записывался результат перемножения разряда множимого, находящегося над этой ячейкой, и разряда множителя, находящегося справа от этой ячейки. Причем для записи результата ячейка разделялась по диагонали на две части. В верхнюю часть записывался старший разряд результата, а в нижнюю – младший. Затем произведения суммировались по наклонным плоскостям справа налево. Полученная сумма и есть окончательный результат. Проиллюстрируем выше сказанное на примере 568 * 7:

1. Чертим решетку с тремя столбцами и одной строкой, разделяем ячейки решетки на две части по диагонали.

2. Умножаем старший разряд множимого на множитель (5*7 = 35) и записываем результат в первую ячейку, причем разряд десяток записываем в верхнюю часть ячейки, а разряд единиц - в нижнюю.

3. Умножаем разряд десятков множимого на множитель (6*7 = 42) и записываем результат во вторую ячейку.

4. Умножаем разряд единиц множимого на множитель (8*7 = 56) и записываем результат в третью ячейку.

5. Суммируем строку решетки по наклонной плоскости справа налево. Суммирование по наклонной плоскости проводится поразрядно с переносом переполнения в старший разряд. Каждый разряд равен сумме чисел в прилегающих друг к другу треугольниках соседних ячеек. Полученная сумма - это результат умножения.

На рисунке слева приведен пример умножения с помощью решетки для многоразрядного множителя. Все действия аналогичны примеру с одноразрядным множителем, только несколько усложняется суммирование по наклонной плоскости.

Используя этот способ умножения, Джон Непер создал свой прибор – «Палочки Непера». Он представлял собой набор палочек, в который входила одна палочка с нанесенными на нее цифрами от 1 до 9 (указатель строк) и палочки с таблицей умножения всех чисел от 1 до 9 (разряды множимого). Сверху каждой такой палочки наносилось число от 1 до 9, а вдоль длины – результаты умножения этого числа на все числа от 1 до 9. По сути дела палочки Непера представляли собой решетку для умножения числа 123456789 на число 123456789, разрезанную на столбцы.

Для умножения с помощью этого прибора выбирались палочки, соответствующие значениям разряда множимого, и выкладывались в ряд так, чтобы цифры сверху каждой палочки составляли множимое. Часто значения разрядов множимого повторялись, поэтому в наборе всегда было несколько палочек для каждого разряда. Слева прикладывали палочку с цифрами от 1 до 9 (указатель строк), по которой выбирали строки, соответствующие разрядам множителя. Затем каждая отобранная строка суммировалась по наклонной плоскости. Полученные результаты складывались между собой с учетом порядка разрядов множителя.

Рассмотрим технику умножения с помощью палочек Непера на примере перемножения чисел 4938 и 385:

1. Выбираем палочки с таблицей умножения чисел 3,4,8 и 9.

2. Выкладываем их вряд так, чтобы цифры сверху каждой палочки составили число 4938.

3. Выкладываем слева указатель строк.

4. Ориентируясь по крайней левой палочке, проводим суммирование по наклонной плоскости для третьей строки. Суммирование проводится по этой строке, так как старший разряд множителя – три. Получаем результат суммирования 14814.

5. Аналогичные действия проводим для восьмой строки, так как второй разряд множителя – восемь. Результат суммирования – 39504.

6. Эти же действия проводим для младшего разряда множителя, которому соответствует пятая строка. Результат суммирования – 24690.

7. Складываем полученные ранее результаты с учетом порядка разрядов множителя. Так как первая сумма вычислялась для разряда сотен, то умножаем ее на 100. Соответственно вторую сумму умножаем на 10, а третью оставляем без изменения. Складываем полученные результаты: 1 481 400 + 395 040 + 24690 = 1 901 130. Полученная сумма и есть результат перемножения чисел 49380 и 385.

Палочки Непера могли использоваться не только для умножения, но и для деления, и излечения квадратного корня. Рассмотрим технику деления на примере 491756 / 3852 = 127.6625:

1. Выбираем палочки с таблицей умножения чисел 2,3,5 и 8.

2. Выкладываем их в ряд так, чтобы цифры сверху каждой палочки составили делитель (3852).

3. Суммируем по наклонной плоскости первый ряд и записываем напротив него результат. Эту же операцию проделываем с оставшимися восемью рядами.

4. Теперь приступаем непосредственно к делению. На этом этапе необходимо найти наибольшее число из столбца сумм, но при этом оно должно быть меньше делимого с учетом разрядности. То есть необходимо привести числа из столбца сумм к единому порядку с делимым и уже из этих чисел выбирать нужное нам. Для нашего примера - это число из первой строки с учетом приведения к единому порядку с делимым 385200. Вычитаем найденное число (385200) из делимого и получаем старший разряд результат и остаток. Старший разряд результата будет 1, так как мы выбрали число из первой строки. Остаток от деления будет 491756 - 385200 = 106556.

5. Повторяем действия, описанные в пункте 4, но применительно к остатку от деления. В результате получаем следующий разряд результата (2) и новый остаток (29516). Повторяем эти действия до тех пор, пока остаток больше делителя. Когда остаток от деления становится меньше делителя, означает, что найдена целая часть результата. В нашем случае это произойдет после трех итераций, и целая часть результата будет 127.

6. Увеличиваем остаток от деления в 10 раз и проводим с ним описанные выше действия, в результате получаем десятые доли результата (для нашего примера 6) и новый остаток. Повторяем эти действия до тех пор, пока не будет достигнута необходимая точность деления или остаток не будет равен нулю.

Палочка Непера для извлечения квадратного корня

Для извлечения квадратного корня использовалась дополнительная палочка, имеющая три столбца. Первый столбец содержал возведенные в квадрат значения указателя строк. Второй столбец содержал числа, получаемые умножением значения указателя строк на два. Третий столбец содержал числа от 1 до 9. Для того, чтобы понять, как производилось вычисления квадратного корня с помощью палочек Непера, рассмотрим пример извлечения квадратного корня из числа 56349.

Извлечение квадратного корня происходит поэтапно. Число разбивают на группы по 2 цифры, начиная с права, и на каждом этапе оперируют со своей парой цифр. При этом от этапа к этапу к паре чисел присоединяется остаток от извлечения квадратного корня на предыдущем этапе.

Палочки Непера. Извлечения квадратного корня. Этап 1.

Этап 1. Число 56349 разбивается на пары следующим образом: 5 63 49. Извлечение квадратного корня начинается с крайней левой группы, в нашем случае это 5.

Выбираем из первого ряда палочки для деления максимальное число, но меньшее первой группы (пяти). Это будет четыре: 4 < 5 < 9. Так как число 4 находится во втором ряду, то старший разряд результата будет 2.

Определяем остаток от операции над первой группой, отнимая от значения группы (5) выбранное нами число (4). Остаток будет 1 (5-4 = 1). Зная остаток от операции над первой группой, определяем значение для второго этапа извлечения квадратного корня. Путем объединения остатка(1) и второй группы(63) получаем число 163.

Смотрим значение второго столбца палочки для деления во второй строке (4) и выкладываем это число слева от этой палочки, как показано на рисунке «Извлечение кв. корня. Этап 1». Подсчитываем сумму всех рядов по наклонной плоскости, игнорируя второй и третий столбцы палочки, для извлечения квадратного корня и записываем их справа от выложенных палочек.

Палочки Непера. Извлечения квадратного корня. Этап 2.

Этап 2. Выбираем наибольшее число из столбца суммирования строк по наклонной плоскости, которое в свою очередь меньше числа, определенного для второго этапа (163). Это будет 129 (129<163<176) из третей строки. Таким образом, следующий разряд результата будет 3.

Определяем остаток от операции на втором этапе, отнимая от числа, определенного для второго этапа (163), выбранное нами число (129). Остаток будет 34 (163-129 = 34). Зная остаток, определяем значение для третьего этапа извлечения квадратного корня. Путем объединения остатка(34) и третей группы(49) получаем число 3449.

Смотрим значение второго столбца палочки для деления в третьей строке (6) и выкладываем палочку, соответствующую этому числу слева от палочки для деления, как показано на рисунке «Извлечение кв. корня. Этап 2». Подсчитываем сумму всех рядов по наклонной плоскости, игнорируя второй и третий столбцы палочки, для извлечения квадратного корня и записываем их справа от выложенных палочек.

Этап 3. Выбираем наибольшее число из столбца, который получился в результате суммирования строк по наклонной плоскости, которое в свою очередь меньше числа, определенного для третьего этапа (3449). Это будет 3269 (3269<3449<3744) из седьмой строки. Таким образом, очередной разряд результат будет 7.

Палочки Непера. Извлечения квадратного корня. Этап 3.

Определяем остаток от операции, отнимая от числа, определенного для третьего этапа (3449), выбранное нами число (3269). Остаток будет 180 (3449-3269 = 180). Зная остаток, определяем значение для продолжения извлечения квадратного корня на четвертом этапе. Так как для четвертого этапа не осталось группы для объединения с остатком, то разряд результата, полученный после четвертого этапа, будет разряд десятых частей. А для вычисления числа для четвертого этапа остаток (180) объединяется с группой, состоящей из двух нулей (00). Таким образом, число для четвертого этапа будет 18000.

Смотрим значение второго столбца палочки для деления в седьмой строке (14). Объединяем число, выложенное палочками (46), с 14 по следующему правилу: разряд десятков от числа 14 прибавляем к числу выложенными палочками (46+1=47), а разряд единиц просто приписываем справа и получаем 474. Выкладываем это число слева от палочки для извлечения квадратного корня, как показано на рисунке «Извлечение кв. корня. Этап 3». Подсчитываем сумму всех рядов по наклонной плоскости, игнорируя второй и третий столбцы палочки для извлечения квадратного корня, и записываем их справа от выложенных палочек.

Этап 4. Выбираем наибольшее число из столбца суммирования строк по наклонной плоскости, которое меньше числа, определенного для четвертого этапа (18000). Это будет 14229 (14229<18000<18976) из третьей строки. Таким образом, разряд десятых частей результата будет 3. Следовательно, квадратный корень из 56349 будет 237,3…

Далее повторяем действия, описанные в третьем этапе, до тех пор, пока не будет достигнута заданная точность или остаток от операции не будет равен нулю. Если получен нулевой остаток, то это означает, что корень извлекается точно.

Было множество попыток усовершенствовать палочки Непера. Так в 1668 году Каспар Шот предложил вместо брусочков использовать цилиндры, на поверхности каждого из которых нанесены значения всех палочек Непера с таблицей умножения от 1 до 9. Цилиндры помещались в ящик параллельно друг другу. Повернув цилиндры так, чтобы их верхние цифры составляли множитель, можно проводить умножение также, как и с помощью палочек Непера.

В 19 веке для облегчения счета палочки Непера стали делать на брусочках, располагающихся под углом в 65 градусов. Таким образом, треугольники, используемые для сложения, при счете по наклонной плоскости располагались друг под другом.

А в 1892 году был создан прибор для умножения, использующий вместо палочек узкие полоски, закрепленные в футляре в виде записной книжки и передвигающиеся с помощью заостренной палочки.

Палочки Непера были очень популярны и привлекали многих изобретателей. За века их использования было предложено много разнообразных усовершенствований и устройств для их использования. Однако, это было не единственное изобретение Непера, повлиявшее на развитие устройств для счета. Он заложил понятие логарифма и основы логарифмического исчисления, речь о котором пойдет в следующем разделе.