Текстові задачі

1. Петрик вибрав 4 різних натуральних числа. Добуток двох найменших з них дорівнював 16, а двох найбільших – 225 . Чому може дорівнювати сума усіх чотирьох вибраних чисел?

Відповідь: 44 .

Розв’язання. Випишемо можливі розклади чисел на різні множники: 16=16*1=2*8 та 225 =1*225=3*75==5*45=9*25 . Якщо для числа вибраний розклад 1*16, то підібрати належним чином розклад числа 225 вже не вдасться. Тому два менших числа, то є 2, 8, тобто можливий розклад числа 225=9*25. Звідси сума усіх чисел дорівнює 2+8+9+25=44.

2. На новорічному балу в класі дівчата танцювали з хлопцями, при цьому 8 хлопчикам не вистачило пари. Тоді кожний хлопчик запросив на другу частину балу свою подружку не з класу, а 10 дівчат запросили своїх бойфрендів також з інших класів. Тепер усі присутні хлопці та дівчата танцювали в парах, що складалися з хлопчика та дівчинки. Скільки з самого початку на балу було дівчат та хлопців?

Відповідь: 10 дівчат та  18 хлопців.

Розв’язання. Нехай з самого початку було х дівчат та х+8 хлопців. У другій частині балу дівчат Рис. 1

стало: х+х+8 , а хлопців – х+8+10 . Звідси маємо рівність:2х+8=х+18 , звідки х=10 .

3. Співробітниками фірми є або брехуни, або лицарі, яких однакова кількість. При цьому брехуни на кожне запитання дають неправдиву відповідь, а лицарі на кожне запитання дають правдиву відповідь. На запитання "Скільки серед співробітників брехунів?" були отримані відповіді: "Не менше 25 " або "Не менше 28". Аналогічно на запитання "Скільки серед співробітників лицарів?" були отримані відповіді: "Не більше 26 " або "Не більше 29". Скільки усього співробітників на фірмі?

Відповідь: 54 співробітника.

Розв’язання. Розглянемо відповіді співробітників про кількість брехунів, одна з них має бути правдивою, інша – ні. Якщо правдивою є відповідь “не менше 25 брехунів", то тоді інша неправдива, тобто брехунів буде менше 28 . З цих двох відповідей випливає діапазон кількості брехунів – 25, 26, 27. Якщо вважати правдивою другу відповідь про брехунів, а першу неправдивою, то отримаємо порожню множину діапазону кількості брехунів. Цілком аналогічно, розглядаючи відповіді про кількість лицарів, матимемо діапазон їхньої кількості: 27, 28, 29 . Оскільки лицарів та брехунів однакова кількість, то їх по 27, тобто усього 54 співробітників .

4. На дроті сиділи 2018 пташок декількох типів. Пташки одного типу утворюють колонію. Яка найменша кількість колоній була на дроті, якщо вони розсілися таким чином, що між кожними двома пташками з однієї колонії сидить парна кількість пташок (не важливо з яких колоній)?  

Відповідь: 1009 колоній.

Розв’язання. Припустимо, що в колонії більше 2 птахів. Тоді розглянемо ті три з них, що сидять зліва направо – А, В, С. Тоді між А та В сидять 2n птахів, а між B та C сидять 2m птахів, але тоді між A та C  сидять 2n+2m+1 птах – непарна кількість. Таким чином кожна колонія складається щонайбільше з 2 птахів, а тому кількість колоній щонайменше 2018^21=1009.   

5. На площині відмічені 60 точок, з яких 39 лежать на прямій l , а решта на цій прямій не лежать. Доведіть, що усі ці 60 точок можна розбити на 20 трійок точок так, що точки кожної трійки не лежатимуть на одній прямій.

Розв’язання. Виберемо дві точки A, B, що не лежать на прямій  l, тоді прямі AB та l або перетинаються в деякій точці C або AB паралельна  l.  Вибираємо першу трійку точок таким чином: до точок A, B додаємо будь-яку точку на прямій l, що відмінна від C (якщо прямі паралельні, додаємо будь-яку точку на прямій   l). Залишається 38 точок на прямій та 19 не на ній. Зрозуміло, що тепер достатньо вибрати трійки таким чином – 2 не обрані точки на прямій та 1 з ще не обраних поза прямою.      

6. Петрик написав 12 послідовних натуральних чисел. Після цього він розглянув усі можливі пари чисел з цього набору та порахував добуток для кожної пари. Далі він додав усі отримані добутки цих пар чисел. В результаті виявилось число 2018201820182018. Чи не помилився Петрик в підрахунках?

Відповідь: помилився.

Розв’язання. Доведемо, що сума має бути непарним числом. Дійсно, серед цих 12 чисел рівно 6 непарних. Тому пар, де обидва числа непарні, буде усього 0,5*6*5=15. Таким чином в суму входять непарна кількість непарних доданків, а тому вона так само буде непарною.

7. У першому рядку таблиці виписані зліва направо натуральні числа від 1 до 9. Чи можна у другому рядку розставити ці ж самі числа так, щоб сума двох чисел кожного стовпчика була квадратом натурального числа?

1	2	3	4	5	6	7	8	9
8	2	6	5	4	3	9	1	7
Рис. 3

Відповідь: так.    

8. Є  карток, на яких написані такі твердження:

на першій – "лівіше немає жодної картки з невірним твердженням";

на другій – "лівіше рівно одна картка з невірним твердженням";

на третій – "лівіше рівно дві картки з невірним твердженням"; …;

на дванадцятій – "лівіше рівно одинадцять карток з невірним твердженням".

Яким чином їх можна розкласти, щоб на написаних картках була найбільша кількість вірних тверджень?

Відповідь: 1, 12, 2, 11, 3, 10, 4, 9, 5, 8, 6, 7..

Розв’язання. Якщо розглянути дві сусідні картки, то принамйні на одній з них не може бути вірного твердження. Дійсно, ліворуч від них (якщо на обох вірне твердження) лежить однакова кількість невірних тверджень. Тому принаймні на одній з них воно хибне. Таким чином з 12 карток не менше як на 6 хибне твердження. Тому не більше як на 6 вірне твердження. Залишається розглянути наведену відповідь.