5 клас. Основні типи задач на відсотки. Задачі для колективної роботи з учнями

Основні задачі на відсотки і способи їх розв’язування

Розглядаються три види основних задач на відсотки:

а) знаходження відсотків числа;

б) знаходження числа за даним числом його відсотків;

в) відсоткове відношення двох чисел.

При розв’язуванні задач на проценти застосовують три способи:

1) зведення до одиниці,

 2) зведення до відповідних задач на дроби,

3) застосування пропорцій.

Нам здається, що основним способом для розв’язання основних задач на проценти слід взяти спосіб зведення до одиниці. Перед іншими способами він має великі переваги: а) простіший для виконання обчислень; б) привчає до виділення числа , яке приймають за 100%; в) при розв’язуванні задачі потребує міркувань ( а не запам’ятовувань правил знаходження дробу числа або числа за даним дробом); г) його можна застосувати зразу ж після введення поняття про дріб і збільшення (зменшення) дробу в кілька разів.

Ми не можемо вважати доцільним розгляд задач на проценти зводити до задач на дроби; та загальність, якої при цьому прагнуть досягти, не потрібна, бо процент є поняттям чисто практичного характеру; крім того, як це було показано, ця загальність веде до ускладнення обчислень. Спинимось коротко на застосуванні  способу зведення до одиниці при розв’язуванні основних задач на проценти.

Задача 1.  На знаходження кількох процентів числа, наприклад 21% від 150. Розв’язання і запис можна рекомендувати виконувати так:

150-100%;

1% дорівнює 150:100=1,5 ;

 21% становитиме:  21*150:100 =31,5

В і д п о в і д ь. 31,5

Задача 2.  На знаходження числа за даним числом його процентів, наприклад, знайти число, якщо його 17% становлять 68. Розв’язання і його запис можна рекомендувати робити так:

Невідоме число 100%;

1% його дорівнює 68:17=4.

Знайдемо невідоме число або 100%:  100*68:17 =400

В і д п о в і д ь.400

Задача 3.    На знаходження процентного відношення двох чисел, наприклад, знайти процентне відношення 18 до 49. Розв’язання і запис його можна рекомендувати робити так:

49 – це 100%;

1% його дорівнює 49:100 = 0,49.

Скільки процентів становить 18?

Число 18 становить стільки процентів від 49, в скільки разів 18 більше0,49. Треба 18 поділити на 0,49.

18: 0,49 = 1800:0,49≈37%.  В і д п о в і д ь. ≈37%

	Знаходження відсотка від числа	Знаходження числа за відсотком	Знаходження відсоткового відношення чисел
Записати коротко умову	100%  -  а    р%   -  х	100%  - у    р%   -  b	100%  - а      x%  - b
Складемо пропорції	=	=	=
Знайдемо невідомі члени пропорції	х = = 0,01ap	у = =b:0,01p	р = (%)

ПРОСТІ ВІДСОТКИ

Коли деяка величина збільшується на постійну кількість процентів за кожний фіксований період часу то будемо користуватись формулою виду:

А_n = (1 + 0,01рn) · А

де А_n – деяка величина, яку одержимо після періоду n, p% - певні відсотки від величини А.

            Ця формула описує багато конкретних ситуацій і називається формулою простого відсоткового зростання.

            Аналогічна формула виходить, якщо деяка величина зменшується за даний період часу на певну кількість процентів.

            У цьому випадку (1 – 0,01рn) · А = А_n

            Ця формула також називається формулою простого відсоткового зростання, хоч задана величина насправді зменшується.

СКЛАДНІ ВІДСОТКИ

Нехай банк нараховує р відсотків річних, внесена сума дорівнює А грн., а сума, яка буде на рахунку через n  років, дорівнює А_n грн..

р%  від А становлять 0,01 рА грн., і через рік на рахунку виявиться сума:

А₁ = А + 0,01рА = (1 + 0,01р)А,

тобто, початкова сума збільшиться в 1 + 0,01р разів.

За наступний рік сума А1 збільшиться у стільки ж разів, і тому через два роки на рахунку буде сума:

А₂ = (1 + 0,01р) А₁ = (1 + 0,01р)(1 + 0,01р)А=(1 + 0,01р)² · А.

Аналогічно, А₃=(1 + 0,01р)³ · А і т.д.

Інакше кажучи, справедлива рівність

А_n = (1 + 0,01р)ⁿ · А.

Цю формулу називають формулою складного відсоткового зростання, або просто формулою складних процентів.

Відмінність простого і складного зростання полягає у тому, що при простому зростанні відсоток кожного разу обчислюють, виходячи з початкового значення величини, а при складному зростанні він обчислюється з попереднього значення.

Отже всі задачі на відсотки можна поділити на групи:

Задачі на знаходження відсотків від числа.

Задачі на знаходження числа за їх відсотками.

Задачі на знаходження відсоткового відношення.

Задачі на змішування.

Задачі на складні відсотки.

Під час розв'язування задач на відсотки необхідно знати:

означення відсотка;

позначення відсотка;

правило знаходження відсотків від числа;

правило знаходження числа за його відсотками;

правило знаходження відсоткового відношення двох чисел;

поняття про складні відсотки;

формулу складних відсотків.  

Окрім того задачі на відсотки можна розв'язувати також кількома способами.

зведенням до дробів;

зведенням до одиниці;

способом пропорцій;

за формулою.

Варіант 1. Основні задачі на відсотки.

1.     Знайти невідому величину, якщо: а) 10% шляху становить 32 м; б) 20% діжки молока дорівнює 52 л; в) 25% класу це 7 учнів; г) 75% виборців становить 75 тис. людей.

2.     Скільки відсотків становить: а) 28 учнів від 32 учнів; б) 39 грн від  78 грн; в) 200 км від 800 км; г) 75  кандидатів від 15 тис. людей; д) 9 місяці від 1 року.

3.     Знайти: а) 70 % від 30 учнів; б) 60 % від  70 грн; в) 40 % від 800 км; г) 15  % від 15 тис. людей; д) 365 днів від високосного року.

4.     На скільки відсотків збільшилась вели­чина 100 м, якщо вона збільшилась в: а)1,05 рази;  б) 1,2 рази; в) 1,54 разів; г) 2,75 рази; д) 20 разів; е) 100 разів?

5.     На скільки відсотків зменшилась вели­чина 1000 грн, якщо вона зменшилась в: а)2 рази;  б) 2,5 рази; в) 4 рази; г) 5 разів; в) 10 разів; г) 200 разів?

6.     Скільки грамів можна отримати 4%-ного соляного розчину з: а) 6 г солі; б) 8 г солі; в) 10 г солі; г) 16 г солі; д) 96 г солі?

7.     Товар коштував 100 грн.  Скільки гривень став коштувати товар, якщо  його уцінили на: а) 1 %; б) 10 %; в) 20 %; г) 25 %; д) 50 %?

8.     Товар коштував 1000 грн.  Скільки гривень став коштувати товар, якщо  його вартість збільшили на: а) 4 %; б) 5 %; в) 15 %; г) 20 %; д) 25 %?

9.     Товар коштував 100 грн.  На скільки відсотків піднялась вартість товару, якщо  його ціна стала: а) 120 грн; б) 150 грн; в) 110 грн; г) 220 грн; д) 420 грн;

10.                       Товар коштував 1000 грн.  На скільки відсотків знизилась вартість товару, якщо  його ціна стала: а) 920 грн; б) 950 грн; в) 800 грн; г) 500 грн; д) 400 грн?

11.                       На скільки відсотків в порівнянні з по­чатковою   змінилась   температура повіт­ря, якщо: а) вона спочатку підвищилась на 5%, а потім знизилась на 2%;  б) вона спочатку підвищилась на 10%, а потім підвищилась на 4%; в) вона спочатку знизилась на 2%, а потім знизилась на 2%?

12.                       У скільки рази число А більше за число В, якщо число А складає від числа В: а)  101%; б) 125%;  в) 150%;  г) 400%  д) 5000 %?

13.                       На скільки число А менше за число В, якщо число А складає від числа В: а)  50 %; б) 75%; в) 25%;  г) 10%  д) 1%? 

14.                       На скільки відсотків треба збільшити число А, щоб отримати число  В, якщо число А складає від числа В: а)  20% ; б)  50 %; в) 75%; г) 25%;  д) 10%  е) 1%? 

15.                         У скільки разів треба збільшити число А, щоб отримати число  В, якщо число А складає від числа В:  а)  10% ; б)  20 %;  в) 25%; г) 50%;  д) 2%  е) 4%  є) 1%?

16.                       На полиці книг з історії на 40%  менше, ніж книг з математики.    На скільки відсотків книг  з математики більше, ніж книг з історії?

17.            Туристи пройшли маршрут за три дні За пер­ший день вони пройшли 35% від усього шляху,  а за другий - 20% того, що залишилось. Скільки відсотків від усього шляху їм залишилося  пройти за третій день?

Варіант 2. Основні задачі на відсотки.

1.     Знайти невідому величину, якщо: а) 50% шляху становить 32 м; б) 5% діжки молока дорівнює 52 л; в) 20% класу це 7 учнів; г) 45% виборців становить 45 тис. людей.

2.     Скільки відсотків становить: а) 8 учнів від 32 учнів; б) 49 грн від  98 грн; в) 400 км від 1600 км; г) 5  кандидатів від 500 людей; д) 3 місяці від 1 року.

3.     Знайти: а) 10 % від 40 учнів; б) 20 % від  70 грн; в) 50 % від 800 км; г) 15  % від 15 тис. людей; д) 364 днів від невисокосного року.

4.     На скільки відсотків збільшилась довжина 100 м, якщо вона збільшилась в: а)1,05 рази;  б) 1,2 рази; в) 1,54 разів; г) 2,75 рази; д) 20 разів; е) 100 разів?

5.     На скільки відсотків зменшилась вартість 1000  грн, якщо вона зменшилась в: а)2 рази;  б) 2,5 рази; в) 4 рази; г) 5 разів; в) 10 разів; г) 200 разів?

6.     Скільки грамів можна отримати 5%-ного соляного розчину з: а) 7 г солі; б) 9 г солі; в) 20 г солі; г) 36 г солі; д) 100 г солі?

7.     Товар коштував 400 грн.  Скільки гривень став коштувати товар, якщо  його уцінили на: а) 2 %; б) 10 %; в) 25 %; г) 75 %; д) 50 %; е)100%; є) 5%?

8.     Товар коштував 5000 грн.  Скільки гривень став коштувати товар, якщо  його вартість збільшили на: а) 4 %; б) 5 %; в) 15 %; г) 20 %; д) 25 %; е)50%; є)100%?

9.     Товар коштував 200 грн.  На скільки відсотків піднялась вартість товару, якщо  його ціна стала: а) 220 грн; б) 250 грн; в) 210 грн; г) 320 грн; д) 440 грн;

10.                       Товар коштував 8000 грн.  На скільки відсотків знизилась вартість товару, якщо  його ціна стала: а) 7920 грн; б) 7950 грн; в) 7800 грн; г) 7500 грн; д)7 400 грн?

11.                       На скільки відсотків в порівнянні з по­чатковою  10^оС  змінилась   температура повіт­ря, якщо: а) вона спочатку підвищилась на 4%, а потім знизилась на 5%;  б) вона спочатку підвищилась на 2%, а потім підвищилась на 4%; в) вона спочатку знизилась на 4%, а потім знизилась на 4%?

12.                       У скільки рази число А більше за число В, якщо число А складає від числа В: а)  101%; б) 105%;  в) 150%; г) 225%;  д) 350%;  е) 400%  є) 5000 %?   ж) 20000%?

13.                       На скільки число А менше за число В, якщо число А складає від числа В: а)50 %; б) 75%; в) 25%;  г) 10%  д) 1%; е) 4%  є) 5 %?   ж) 20%?   

14.                       На скільки відсотків треба збільшити число А, щоб отримати число  В, якщо число А складає від числа В: а)  2% ; б)  4 %; в) 5%; г) 20%;  д) 25%  е) 1%? 

15.                       У скільки разів треба збільшити число А, щоб отримати число  В, якщо число А складає від числа В:  а)  5% ; б)  10 %;  в) 25%; г) 50%;  д) 2%  е) 40%  є) 1%?

16.                       На полиці книг з історії на 20%  менше, ніж книг з математики.    На скільки відсотків книг  з математики більше, ніж книг з історії?

17.                       Туристи пройшли маршрут за три дні За пер­ший день вони пройшли 25% від усього шляху,  а за другий - 20% того, що залишилось. Скільки відсотків від усього шляху їм залишилося  пройти за третій день?