Початкові задачі на дії з відсотками. 5 клас.

Основні задачі на відсотки і способи їх розв’язування

Розглядаються три види основних задач на відсотки:

а) знаходження відсотків числа;

б) знаходження числа за даним числом його відсотків;

в) відсоткове відношення двох чисел.

При розв’язуванні задач на проценти застосовують три способи:

1) зведення до одиниці,

 2) зведення до відповідних задач на дроби,

3) застосування пропорцій.

Нам здається, що основним способом для розв’язання основних задач на проценти слід взяти спосіб зведення до одиниці. Перед іншими способами він має великі переваги: а) простіший для виконання обчислень; б) привчає до виділення числа , яке приймають за 100%; в) при розв’язуванні задачі потребує міркувань ( а не запам’ятовувань правил знаходження дробу числа або числа за даним дробом); г) його можна застосувати зразу ж після введення поняття про дріб і збільшення (зменшення) дробу в кілька разів.

Ми не можемо вважати доцільним розгляд задач на проценти зводити до задач на дроби; та загальність, якої при цьому прагнуть досягти, не потрібна, бо процент є поняттям чисто практичного характеру; крім того, як це було показано, ця загальність веде до ускладнення обчислень. Спинимось коротко на застосуванні  способу зведення до одиниці при розв’язуванні основних задач на проценти.

Задача 1.  На знаходження кількох процентів числа, наприклад 21% від 150. Розв’язання і запис можна рекомендувати виконувати так:

150-100%;

1% дорівнює 150:100=1,5 ;

 21% становитиме:  21*150:100 =31,5

В і д п о в і д ь. 31,5

Задача 2.  На знаходження числа за даним числом його процентів, наприклад, знайти число, якщо його 17% становлять 68. Розв’язання і його запис можна рекомендувати робити так:

Невідоме число 100%;

1% його дорівнює 68:17=4.

Знайдемо невідоме число або 100%:  100*68:17 =400

В і д п о в і д ь.400

Задача 3.    На знаходження процентного відношення двох чисел, наприклад, знайти процентне відношення 18 до 49. Розв’язання і запис його можна рекомендувати робити так:

49 – це 100%;

1% його дорівнює 49:100 = 0,49.

Скільки процентів становить 18?

Число 18 становить стільки процентів від 49, в скільки разів 18 більше0,49. Треба 18 поділити на 0,49.

18: 0,49 = 1800:0,49≈37%.  В і д п о в і д ь. ≈37%

Варіант 1. Задачі на дії з відсотками

1. 1. Запишіть у вигляді звичайного і десяткового дробу: а)1%, 2%, 4%, 5%, 10%,  20%, 25%, 50%, 75%, 100%, 120%, 125%, 150%; 200%;   б) 3%, 6%, 7%, 15%, 19%,  28%, 35%, 55%, 85%, 104%, 135%, 145%, 160%; 240%.
2. 2. Запишіть у відсотках: а)¹/₁₀₀;  ¹⁷/₁₀₀;  ²³/₁₀₀;  ⁴⁵/₁₀₀;  ⁵⁸/₁₀₀;  ⁴⁰/₁₀₀;   ²⁰/₁₀₀;  ²⁵/₁₀₀;  ⁵⁰/₁₀₀;  ⁷⁵/₁₀₀;  ¹⁰⁵/₁₀₀;  ²³⁴/₁₀₀; ⁷⁰⁰/₁₀₀.  
3. 3. Запишіть у відсотках: а) ¹/₁₀;  ³/₁₀; ⁴/₁₀;  ⁵/₁₀;  ⁸/₁₀;  ⁷/₁₀;  ¹⁰/₁₀;  ¹⁵/₁₀;  ¹²/₁₀;  ²⁰/₁₀;  ²⁵/₁₀;  ⁵⁵/₁₀;  ⁷⁵/₁₀;  ¹⁰⁵/₁₀;  ²⁰⁰/₁₀;  ⁷⁵/₁₀. 
4. 4. Запишіть у відсотках: а) ¹/₄; ³/₄;  ²/₄;  ¹/₅;  ²/₅;  ⁴/₅;  ⁵/₅;  ¹/₂₀;  ²/₂₀;  ⁴/₂₀;  ¹⁰/₂₀;  ¹/₂₅; ²/₂₅; ⁴/₂₅; ⁵/₂₅; ²⁵/₄;  ⁵⁰/₂;  ⁷⁵/₁₅;  ¹⁰⁰/₂₅.
5. 5.  Запишіть у вигляді звичайного і десяткового дробу:  а)0,1%;  0,2%;  1,4%;  1,5%;   1,05%;  2,5%;  0,25%;  0,5%.
6. 6. Запишіть у вигляді звичайного і десяткового дробу:  а)7,5%, 10,5%, 12,6%, 62,5%, 1,53%;  245,5%;  9,9%, 6,7%.
7. 7. Що більше:  а) 1,5 чи  15%;  б) 0,19 чи 19%; в) 0,35% чи 0,35;  г) 1,85% чи 1,04; д) 135% чи 145 , е) 1,6%  чи 0,14.
8. 8. Знайдіть:  а) 2%  від  150 грн;   б) 4%  від  160 грн;  в) 5%  від  180 грн;   г) 10%  від  144 грн; д) 3%  від  270 грн. 
9. 9. Знайдіть: а) 8%  від  1250 м;   б) 14%  від  140 г;  в) 15%  від  150 сек;   г) 30%  від  13 га;   д) 60%  від  270 кг.
10. 10.  Збільшити:  а) 800 грн на  20%;   б) 140 кг на 25%;  в) 150 с  на 10%;   г) 30^оС  на  75 %;   д) 300 км на  60% .
11. 11.  Зменшити:  а) 540 м  на  10%;   б) 860 км на 20%;  в) 980 л  на 25%;   г) 30^оС  на  50 %;   д) 800 км на  40% .
12. 12.  Знайдіть число, якщо: а) 8%  становить  1656;   б) 14%  становить  1470;  в) 15%  становить  1590.

Варіант 2. Задачі на дії з відсотками

1. 1. Запишіть у вигляді звичайного і десяткового дробу: а)7%, 9%, 4%, 6%, 14%,  22%, 28%, 55%, 85%, 101%, 125%, 128%, 154%; 203%;   б) 13%, 16%, 17%, 85%, 190%,  280%, 305%, 55,1%, 8,5%, 1,04%, 13,5%, 14,5%, 1,6%.
2. 2. Запишіть у відсотках: а)³/₁₀₀;  ¹⁵/₁₀₀;  ²⁸/₁₀₀;  ⁴⁹/₁₀₀;  ⁵³/₁₀₀;  ⁴⁵/₁₀₀;   ²²/₁₀₀;  ²⁴/₁₀₀;  ⁵²/₁₀₀;  ⁷⁴/₁₀₀;  ¹²⁵/₁₀₀;  ²¹⁴/₁₀₀; ⁹⁰⁰/₁₀₀.  
3. 3. Запишіть у відсотках: а) ⁴/₁₀;  ⁵/₁₀; ⁶/₁₀;  ²/₁₀;  ⁸/₁₀;  ⁹/₁₀;  ¹⁰/₁₀;  ¹³/₁₀;  ¹⁷/₁₀;  ²⁸/₁₀;  ²²/₁₀;  ⁵⁴/₁₀;  ⁷²/₁₀;  ⁴⁵/₁₀;  ²³⁰/₁₀;  ⁷⁸/₁₀. 
4. 4. Запишіть у відсотках: а) ³/₄; ¹/₄;  ²/₄;  ³/₅;  ¹/₅;  ⁴/₅;  ⁵/₅;  ⁴/₂₀;  ⁸/₂₀;  ¹²/₂₀;  ¹/₂₀;  ¹⁰/₂₅; ²⁰/₂₅;  ¹⁵/₂₅; ¹⁵/₄;  ³⁰/₂;  ⁶⁵/₁₅;  ¹⁷/₂₅.
5. 5.  Запишіть у вигляді звичайного і десяткового дробу:  а)0,5%;  0,7%;  1,8%;  1,4%;   1,03%;  2,2%;  0,21%;  0,1%.
6. 6. Запишіть у вигляді звичайного і десяткового дробу:  а)3,5%, 12,5%, 17,6%, 52,7%, 1,03%;  25,4%;  0,7%, 26,45%.
7. 7. Що більше:  а) 2,5 чи  25%;  б) 0,39 чи 39%; в) 0,55% чи 0,55;  г) 1,45% чи 1,44; д) 125% чи 115 , е) 1,6%  чи 0,13.
8. 8. Знайдіть:  а) 4%  від  400 грн;   б) 5%  від  120 грн;  в) 10%  від  190 грн;   г) 10%  від  164 грн;   д) 3%  від  210 грн. 
9. 9. Знайдіть: а) 4%  від  8250 м;   б) 10%  від  140 г;  в) 5%  від  160 сек;   г) 20%  від  18 га;   д) 50%  від  200 кг.
10. 10.  Збільшити:  а) 855 грн на  20%;   б) 144 кг на 25%;  в) 158 с  на 10%;   г) 20^оС  на  25 %;  д) 700 км на  50% .
11. 11.  Зменшити:  а) 947 м  на  15%;   б) 860 км на 28%;  в) 980 л  на 20%;   г) 40^оС  на  10 %;   д) 900 км на  30% .
12. 12.  Знайдіть число, якщо: а) 9%  становить  1854;   б) 15%  становить  1575;  в) 17%  становить  1785.

Варіант 3. Задачі на дії з відсотками

1. 1. Запишіть у вигляді звичайного і десяткового дробу: а)17%, 29%, 34%, 46%, 14%,  62%, 78%, 95%, 185%, 121%, 127%, 120%, 554%; 743%;   б) 93%, 56%, 37%, 15%, 10%,  20%, 5%, 55,4%, 4,5%, 1,4%, 3,5%, 1,5%, 1,1%;
2. 2. Запишіть у відсотках: а)⁹/₁₀₀;  ⁵/₁₀₀;  ⁸/₁₀₀;  ⁹⁹/₁₀₀;  ³⁰/₁₀₀;  ⁴⁵/₁₀₀;   ²⁰/₁₀₀;  ²⁵/₁₀₀;  ⁵⁰/₁₀₀;  ⁴/₁₀₀;  ¹⁵/₁₀₀;  ²⁴/₁₀₀; ⁵⁰⁰/₁₀₀.  
3. 3. Запишіть у відсотках: а) ⁴/₁₀;  ⁵/₁₀; ⁶/₁₀;  ²/₁₀;  ⁸/₁₀;  ⁹/₁₀;  ¹⁰/₁₀;  ¹³/₁₀;  ¹⁷/₁₀;  ²⁸/₁₀;  ²²/₁₀;  ⁵⁴/₁₀;  ⁷²/₁₀;  ⁴⁵/₁₀;  ²³⁰/₁₀;  ⁷⁸/₁₀. 
4. 4. Запишіть у відсотках: а) ³/₄; ¹/₄;  ²/₄;  ³/₅;  ³/₅;  ⁴/₅;  ⁵/₅;  ⁷/₂₀;  ⁹/₂₀;  ¹/₂₀;  ¹¹/₂₀;  ¹²/₂₅; ²⁴/₂₅;  ⁵/₂₅; ⁴⁵/₄;  ⁷⁰/₂;  ⁸⁵/₁₅;  ¹/₂₅.
5. 5.  Запишіть у вигляді звичайного і десяткового дробу:  а)0,8%;  0,9%;  1,2%;  1,7%;   1,05%;  2,4%;  0,01%;  0,1%.
6. 6. Запишіть у вигляді звичайного і десяткового дробу:  а)5,5%, 16,5%, 19,6%, 32,7%, 1,63%;  95,4%;  98,7%, 6,45%.
7. 7. Що більше:  а) 5,5 чи  55%;  б) 0,99 чи 99%; в) 0,25% чи 0,25;  г) 1 5% чи 1,04; д) 165% чи 1,55 , е) 9,6%  чи 4,3.
8. 8. Знайдіть:  а) 8%  від  400 грн;   б) 4%  від  120 грн;  в) 15%  від  180 грн;   г) 10%  від  194 грн; д) 3%  від 720 грн. 
9. 9. Знайдіть: а) 2%  від  8250 м;   б) 1%  від  140 г;  в) 4%  від  160 с;   г) 25%  від  180 га;   д) 50%  від  284 кг.
10. 10.  Збільшити:  а) 855 грн на  20%;   б) 144 кг на 25%;  в) 158 с  на 10%;   г) 20^оС  на  25 %;   д) 700 км на  50% .
11. 11.  Зменшити:  а) 984 м  на  25%;   б) 865 км на 20%;  в) 985 л  на 40%;   г) 40^оС  на  40 %;   д) 800 км на  70% .
12. 12.  Знайдіть число, якщо: а) 9%  становить  9954;   б) 65%  становить  6565;  в) 17%  становить  5185.

Варіант 4.  Арифметичні текстові задачі.

1.  Розв’язати задачі:

a)      Сума двох чисел дорівнює 185, причому перше число на 15 більше від другого. Знайти ці числа.

b)      У двох ящиках 80,4 кг яблук, причому в другому на 5,8 кг яблук більше, ніж у першому. Скільки яблук у кожному ящику?

c)      Сума двох чисел дорівнює 210, причому друге число на 66 більше за перше. Знайти ці числа.

d)      За дві години потяг проїхав 194,5 км, причому за першу годину він проїхав на 7,7 км більше, ніж за другу.

Яку відстань проїхав потяг за кожну годину?

2. Розв’язати задачі:

a)      У саду 140 дерев. Серед них 40 % яблунь, 25 % груш, а решта – сливи. Скільки слив росте в саду?

b)      Площа поля 450 га. Першого дня зорали 33 % площі поля, другого дня – 35 %, а третього дня — решту.

 Скільки гектарів поля зорали третього дня?

c)      Першого дня хлопчик прочитав 25 % книжки, другого – 32% . Після чого виявилося, що прочитана частина книжки на 21 сторінку більша за непрочитану. Скільки сторінок у книжці?

d)      У трьох шафах було 350 книжок. У першій шафі було 35 % всіх книжок, у другій – 45% усіх книжок,

а в третій – решта. Скільки книжок у третій шафі?

3. Розв’язати задачі:

a)      Батькові 26 років, а синові 4 років. Через скільки років син буде молодший за батька втричі?

b)      Сестрі 9 років, а братові 13. Коли сестра була (чи буде) втричі молодшою від брата?

c)      Батькові 40 років, а дочці 4. Через скільки років батько буде у 5 разів старший від дочки?

d)      Сестрі 18 років, а братові 12. Коли сестра була (чи буде) втричі старшою за брата?

4. Розв’язати задачі:

a)      Катер пройшов відстань між двома пристанями за течією за 2 год, і проти течії за 3 год. Знайти власну швидкість катера, якщо швидкість течії 3 км/год.

b)      Човен пройшов відстань між двома пристанями за течією за 2 год, а проти течії – за 4 год.  Знайти власну швидкість човна, якщо швидкість течії – 2 км/год.

c)      Катер пройшов відстань між двома пристанями за течією на 2 год швидше, між проти течії річки.

Знайти час, який катер затратив на весь шлях, і відстань між двома пристанями, якщо власна

швидкість катера 15 км/год, а швидкість течії 3 км/год.

d)      Катер подолав відстань між двома пристанями за течією річки за 4 год, а проти течії – за 5 год.

Швидкість течії річки 2 км/год. Знайти власну швидкість катера і відстань між пристанями.

5. Розв’язати задачі:

a)      На двох тарілках лежала однакова кількість слив. Якою стала різниця між кількістю слив на тарілках

 після того, як з першої тарілки 4 сливи переклали на другу тарілку?   

b)      В Олі на четверо яблук більше, ніж у Надійки. Оля віддала троє яблук Надійці. У кого стало більше яблук

 і на скільки?

c)      У трьох білочок 36 грибів. Якщо в першої білочки забрати 3 гриби і віддати їх третій білочці,

то у всіх білочок грибів стане однаково. Скільки грибів було спочатку в кожної білочки?

d)       У дитячий садок завезли м'ячі синього і жовтого кольорів. Синіх м'ячів було на 19 більше, ніж жовтих. Якою стане

різниця між цими м'ячами після того, як кількість синіх м'ячів збільшиться на 5, а жовтих зменшиться на 7?

6. Розв’язати задачі:

a)      Периметр трикутника 84 см. Знайти сторони трикутника, якщо вони відносяться, як 3:4:5.

b)      Периметр трикутника 84 см. Одна сторона у 2 рази менша за другу, а третя на 6 см менша за другу.

Знайти всі сторони трикутника.

c)      Периметр трикутника 77 см. Знайти сторони трикутника, якщо воні і відносяться, як 2:4:5.

d)      Периметр трикутника 78 см. Одна сторона у 3 рази більша від другої а третя –  на 6 см менша від першої. Знайти сторони трикутника.

7. Розв’язати задачі:

a)      Господарка варить вишневе варення. На 3 склянки вишень вона кладе 2 склянки цукру.

Скільки цукру потрібно покласти на 12 склянок вишень?

b)      У 800 г розчину міститься 50 г солі. Скільки грамів солі в 240 г розчину?

c)      Щоб засіяти 8 га поля, витратили 14,4 ц зерна. Скільки потрібно зерна, щоб засіяти 12 га поля?

d)      Із 36 ц буряків одержали 7,2 ц цукру. Скільки цукру вийде з 52 ц цукрових буряків?

8. Розв’язати задачі:

a)      Молоко налили у 8 бідонів місткістю по 40 л. Скільки потрібно двадцятилітрових бідонів, щоб розлити це молоко?

b)      На ділянці залізничної колії старі рейки завдовжки 8 м заміни­ли новими завдовжки 12 м.

Скільки потрібно буде нових рейок, якщо замінили  360 старих рейок?

c)      Скільки обертів зробить шестерня з 36 зубцями, якщо шестер­ня, яка з нею зчеплена, має 18 зубців

і робить 60 обертів?

d)      За 6 днів 24 робітники пропололи ділянку цукрових буряків. За скільки днів виконають ту саму роботу 36 робітників, якщо продуктивність праці залишилась така сама?