Порівняння натуральних чисел

Порівняння натуральних чисел.

Із двох натуральних чисел, що мають різну кількість цифр, більшим є те, у якого цифр більше.

Наприклад: 417 < 1922; 12375 > 9873.

Із двох натуральних чисел, що мають однакову кількість цифр, більшим є те, у якого більше одиниць у найвищому розряді.

Наприклад: 732 > 698; 1295 < 2003.

Із двох натуральних чисел, що мають однакову кількість цифр і однакову цифру у найвищому розряді більшим є те, у якого більше одиниць у наступному, нижчому, розряді і т. д.

Наприклад: 1232 > 1217; 14198 < 14199.

Порівняти два натуральних числа – означає з’ясувати, яке з них більше, а яке – менше.

Результати порівняння записують за допомогою знаків менше (<) або більше (>). Такі записи називаються нерівностями.

Із двох натуральних чисел, які розміщені на координатному промені, більше те, яке розміщене правіше, і менше те, що розміщене лівіше.

Порівнювати багатоцифрові натуральні числа за допомогою координатного променя не дуже зручно.

Якщо натуральні числа мають різну кількість цифр, то більше те число, в запису якого більше цифр, і менше те число, в запису якого менше цифр.

Якщо в запису натуральних чисел однакова кількість цифр, то для їх порівняння користуються таким правилом:

Із двох натуральних чисел з однаковою кількістю цифр більшим є те, у якого більшою є перша з неоднакових цифр. При цьому порівняння здійснюють, рухаючись зліва направо.

Відношення порядку на множині натуральних чисел

Означення. Натуральне число m більше, ніж натуральне число к, якщо існує таке натуральне число n, що

m = к + n.

В даному разі також кажуть, що к менше, ніж m.

Самі відношення «більше, ніж» та «менше, ніж» записують відповідно в такому вигляді:  

m > к   «число m більше, ніж  число к »

та  

к < m   «число к менше, ніж число m ».

Відношення порядку має такі властивості:

1) Для довільних двох натуральних чисел справджується одне й
лише одне з тверджень: або перше більше, ніж друге, або друге
більше, ніж перше, або вони рівні між собою;

2) Нехай  m>к і к>n,  тоді m>n , тобто,  якщо одне число більше, ніж друге, а друге більше, ніж третє, то перше число більше, ніж третє;

3) Нехай m > к, тоді m+n > к+n, тобто, до обох частин нерівності можна додавати одне й те саме число зі збереженням знаку нерівності;

4) Нехай m > к, тоді mn > кn тобто, обидві частини нерівності можна множи­ти на одне й те саме натуральне число зі збереженням знаку нерівності.

Зауваження. Легко сформулювати властивості, аналогічні до трьох останніх, для відношення порядку "менше", здійснивши формальну замі­ну >(більше) на <(менше).

Найбільше та найменше значення числової множини

Якщо деяка непорожня підмножина натурального ряду містить скінчену(обмежену) кількість чисел, то серед них існує найменше(мінімальне) число цієї підмножини та найбільше(максимальне) число цієї підмножини.

Означення. 

1.      Елемент n називають найменший елемент множини М для відношення порядку <,  якщо   для усіх елементів m з М, що нерівні n, справедлива нерівність n < m.   

Такий елемент, якщо він існує, позначають так: minМ або  

n = min    m;

mÎМ

2.      Елемент n називають найбільший елемент множини М для відношення порядку <,   якщо   для усіх елементів m з М, що нерівні n, справедлива нерівність m < n.  

 Такий елемент, якщо він існує, позначають так: mахМ або

n = max  m;

mÎМ

Зауваження. Найбільшого  натурального числа не існує (див. аксіому 2). Якщо для підмножини А натурального ряду існує таке натуральне число, що більше, ніж будь-який елемент А, то існує найбільший елемент А.

Зауваження. Будь-яку непорожню підмножину натурального ряду можна впорядковати, тобто, усі числа підмножини можна записати  в порядку зростання від найменшого до найбільшого.

 Будь-яку непорожню підмножину натурального ряду можна впорядковати, тобто, усі числа підмножини можна записати  в порядку спадання від найбільшого до найменшого.

Завдання на дослідження властивостей натуральних чисел.

1.       Скільки існує натуральних чисел від 1 до 1000 включно, у яких сума цифр рівна 24?

Відповідь: 10 чисел: 888, 996, 969, 699, 987, 897, 879, 978, 798, 789.

2.       Скільки існує натуральних чисел від 1 до 1000, у яких сума цифр рівна 3?

Відповідь:  10 чисел: 3, 30, 300, 12, 21, 102, 120, 210, 111, 201.

3.       Скільки існує натуральних чисел від 1 до 1000 включно, у яких сума цифр рівна 1?

Відповідь: 4 чисел: 1, 10, 100, 1000.

4.       Чи існує натуральне десятицифрове число, яке ділиться націло на 11, у запису якого різні цифри?

Відповідь: так, існує, і не одне. Наприклад: 2753967180 або 1427385960 та інші.

5.       Яких двоцифрових чисел більше: тих, що є добутками двох будь-яких цифр, чи тих, які не дорівнюють добутку двох цифр?

Відповідь: менше тих, що є добутками цифр.

6.       Яке найменше натуральне число можна отримати, шляхом розстановки знаків плюс та мінус перед числами 1, 2, 3, 4, 5, …. , 99?

Відповідь: 1.

7.       Чи можна у вершинах рівностороннього восьмикутника розташувати числа 1,  2, 3, 4, 5, 6, 7, 8  таким чином, щоб суми чисел розташовані у будь-яких  трьох сусідніх вершинах були б більше 11?

Відповідь: Так, наприклад, по часовій стрілці: 1, 5, 7, 2, 4, 6, 3, 8.

8.       Чи існує натуральне число від 1 до 1000, у яке при діленні  на 9 має остачу 2, а при діленні на 6 має остачу 1?

Відповідь: не існує.

9.       Знайти натуральне число, сума цифр якого дорівнює різниці між числом 328 і  самим числом?

Відповідь: 317.

10.    В Іванка 44 монети і 10 кишень. Чи зможе він розкласти монети в кишені так, щоб в кожній кишені була різна кількість монет?

Відповідь: не може.

11.    Від двоцифрового числа  відняли суму його цифр і отримали число, записане тими самими цифрами, але в зворотному порядку. Яке це число?

Відповідь: 54.

12.    Чи можна у вершинах рівностороннього восьмикутника розташувати числа 1,  2, 3, 4, 5, 6, 7, 8  таким чином, щоб суми чисел розташовані у будь-яких  трьох сусідніх вершинах були б більше 13?

13.    Відповідь: не можна. Знайти двоцифрове число, перша цифра якого дорівнює різниці між числом, записаним тими самими цифрами, але в зворотному порядку.

Відповідь:98 

14.    Знайти двоцифрове число, яке дорівнює сумі цифри його десятків і квадрату цифри одиниць.

Відповідь:89 

15.    У трицифровому числі закреслили середню цифру. Отримане двоцифрове число в 6 разів менше трицифрового. Знайти трицифрове число.

Відповідь:108 

16.    Взяли шість 7-цифрових натуральних чисел. Деякі з них записали як  суму із семи доданків. Потім деякі з чисел знову записали як  суму із семи доданків.  І так далі. Після цього підрахували усі  числа, їх виявилось 67.  Чи правильно виконаний підрахунок?

 Відповідь: не правильно

17.     Чи існує  квадрат 3х3,  в клітинках якого розташовані натуральні числами від 1 до 3 таким чином, сума  трьох різних цифр: у кожній діагоналі , у кожному стовпчику, у кожному рядку рівна?

Відповідь: не існує.

18.    Якщо між цифрами деякого двоцифрового числа вписати 0, то отримаємо трицифрове число, яке в 9 разів більше від початкового числа. Яке початкове число?

Відповідь: 45.