Задачі підвищеного рівня складності. Задачі для тренінгу учасників математичних олімпіад

9. У звичайному наборі доміно 28 кісточок. Скільки кісточок містило б доміно, у якого кількості очок, зазначені на кісточках, змінювалися б не від 0 до 6, а від:  а)0 до 7;   б) 0 до 12?

Розв’язання. б)91 =1+2+3+4+…+11+12+13. Викорастити  розташування кісточок в рядочки так, щоб кожний наступний рядочок  додав наступне число до загального попереднього набору.

10.  У грі беруть участь 90 дітей. У кожного на грудях табличка з номером від 10 до 99 включно. Яка сума перших цифр у всіх номерах?

Розв’язання. 450=2(1+2+3+...+9).

11. Скількома способами число 4 можна подати у вигляді суми трьох цілих чисел, якщо варіанти, які відрізняються порядком доданків, вважати різними, і серед доданків можуть бути нулі?

Розв’язання. 15.

12. На дискотеці відпочивали 24 учні з одного класу. З Ганною танцювали сім хлопців, з Катрусею — вісім, з Надійкою — дев'ять і так далі до Люби, з якою танцювали всі хлопці. Скільки хлопців було на дискотеці?

Розв’язання. Маємо рівняння х +(7+х+1) =24, де х - кількість дівчаток у класі. Звідси х= 8, тоді у класі 16 хлопців.

13. Антону подарували терези, і він почав зважувати свої іграшки. Машину зрівноважили м'яч і два кубики, а машину з кубиком — два м'ячі. Усі м'ячі однакові і кубики теж. Скільки кубиків урів­новажують машину?

Розв’язання. 5 кубиків урів­новажують машину, бо м’яч урів­новажують 3 кубики.

14. Ганна, Катруся, Віра, Надія, Люба стоять у черзі в театральну касу. Якби Ганна стояла посередині черги, то вона опинилася б між Катрусею і Любою, а якби Ганна стала в кінець черги, то по­руч з нею могла бути Надія. Але Ганна встала пе­ред усіма своїми подругами. Хто стоїть третьою?

Розв’язання. Дівчата стояли у черзі таким чином: Ганна, Віра, Катруся,  Люба, Надія. Отже, Катруся стоїть третьою у черзі в театральну касу.

15. Четверо друзів — Олекса, Богдан, Володимир, Гриць змагались у перетягуванні каната. Богдан з Грицем легко перетягнули Олексу з Володимиром. Але коли Богдан став у парі з Олексою, то перемога проти  Володимира з Грицем дісталася їм уже не так легко. А коли Богдан з Володимиром опинилися проти Олекси з Грицем, то жодна з цих пар не могла подолати іншу. Хто з друзів найдужчий?

Розв’язання. Богдан, бо отримав найбільше перемог.

16. Кілограм пломбіру на 4 грн. дорожчий від кілограма шоколадного морозива. Сергій і Петро замовили по 300 г морозива, причому Сергій замовив пломбіру вдвічі більше, ніж шоколадного морозива, а в Петра того й іншого порівну. Чия порція дорожча і на скільки?

Розв’язання. У Сергія на 20 копійок дорожча. Якщо 100 копійок ціна кілограма шоколадного морозива, то 500 копійок ціна кілограму пломбіру. Отже, сто грам пломбіру

коштуюють 50 копійок, а  сто грам  шоколадного морозива  коштуюють 10 копійок. Сергій замовив 200 грам пломбіру та 100 грам шоколадного морозива,   а Петро замовив 150 грам пломбіру та 150 грам шоколадного морозива. Ціна порції Сергія 110 копійок, а ціна порції Петра 90 копійок.   110-90=20 копійок.

17. Одне трицифрове число складається з по­слідовних цифр, розмішених у порядку зростання, друге число складається з тих самих цифр у порядку спадання, третє число складається з цих самих цифр. Що це за число, якщо сума всіх трьох чисел дорівнює 1575?

Розв’язання. За умовою задачі отримаємо суму 222х + К = 1575, де х – середня цифра з трьох невідомих, а К – невідоме трицифрове число. Ліва частина рівності повинна ділиться на 5, отже, середня цифра не може бути нулем, значить це цифра 5. Таким чином, 456 + 654 =1110, 1575-1110=465.

Тобто,  465 – шукане третє число.

18. На 1000 гривень придбали 100 птахів трьох видів. Індичка коштує 100 грн., гусак − 30, курча − 5. Скільки придбали індичок?

Розв’язання. Отже, куплено 5 індиків , одного гусака, 94 курчат. Нехай, х – кількість індиків, к –гусаків.  Спочатку складаємо рівняння 100х+30к+5(100-х-к) = 1000, ділимо це рівняння на 5, отримуємо нове рівняння 20х + 6к + (100-х-к) = 200, звідси 5к+100-200-20х = х, отже число х повинно ділиться на 5, і бути менше 10. Таким чином, куплено 5 індиків. Маємо тепер просто підставити х = 5  у перше рівняння і знайти кількість гусаків. Таким чином, зрозуміло, що купили одного гусака. Далі, 100-5-1=94 курчат.

19. Карлсон, Вінні-Пух і крокодил Гена зайшли в кафе. Карлсон купив 4 бутерброди, какао і 10 пончиків за 16,9 крон, Вінні-Пух — 3 бутерброди, какао і 7 пончиків за 12,6 крон. Скільки крон за­ платив крокодил Гена за бутерброд, какао і пончик?

Розв’язання. Легко знайти16,9-12,6 = 4,3 крон коштують  один бутерброд та три пончики. Тепер за умовою задачі треба скласти вирази, який вказує на те, що купив Карлсон: (один бутерброд та три пончики) + (один бутерброд та три пончики) + (один бутерброд та три пончики) + (один бутерброд , какао, один пончик) =16,9 , або звідси  маємо рівняння: 4,3 + 4,3 + 4,3 + Х = 16,9, де Х крон − ціна  бутерброда , какао, пончика. Звідси маємо відповідь до задачі. Гена мав сплатив 4 крони за бутерброда , какао, пончика.

21.Батьки дали дітям на атракціони 24 гривні, які слід було розділити порівну. Але до них при­єдналися дві подруги, і гроші розділили порівну  між усіма. При цьому кожний одержав на 1 грн. менше, ніж передбачалося раніше. Скільки усього стало дітей?

Розв’язання. Число 24=3∙8 або 24=4∙6,отже дітей стало 8.

22. Якщо преміальний фонд розподілити по 50 грн. на людину, то 5 грн. не вистачить, якщо по 45 грн., то 95 грн. залишаться нерозподіленими. Яка сума преміального фонду?

Розв’язання. 5+95=100 грн.

23. Скільки існує різних прямокутників, довжи­ни сторін яких є цілими числами та периметр і площа яких виражаються однаковим числом?

Розв’язання. 2х+2к = хк, (х+к) = хк:2,  отже, усі довжини сторін прямокутника повинні одночасно ділиться на 2. Первіряємо, прямокутник 2х2 не підходить, 4х4, підходить, прямокутник 4х2 не підходить, прямокутник 6х2 не підходить, прямокутник 2х2 не підходить. Відповідь: один.

24. О 12 годині годинна і хвилинна стрілки збігаються. Через яку найменшу кількість хвилин стрілки знову збігаються?

Відповідь: 65 хв + 1/12 хв.

25. Яке найменше невід'ємне число можна одержати з чисел 1, 2, 3, ..., 2005, поставивши перед ними знаки «+» чи «−» і виконавши додавання?

Відповідь: нуль.

26. Знайдіть закономірність у побудові послідовності чисел: 151, 617, 181, 920, 212, 223,...

Відповідь: 242,526, 272,829,...

27. У виразі 4∙12+ 18:6 + 3 розставили дужки так, що вийшов найменший із можливих резуль­татів. Якому числу він дорівнює?

Відповідь:   ((4∙1)2+ 18):(6 + 3)

28. У шаховому турнірі брали участь 4 гросмейстери, які перед початком турніру стверджували: А: «Я буду першим»; Б: «Я не буду останнім»;  В: «Я не буду ні першим, ні останнім»;  Л «Я буду ос­таннім». Після турніру виявилося, що тільки один
шахіст помилився. Хто з них?

29. Скільки існує трицифрових чисел, у яких остання цифра дорівнює добутку двох перших?

30. Середній вік членів гімнастичної секції 11 років. Старшому − 17 років, а середній вік інших членів секції − 10 років. Скільки дітей відвідують секцію?