Логічні задачі
на числові стрічки
1. У кожній клітинці 9-клітинкової стрічки
розташовані невід’ємні цілі числа.
Сума чисел у будь-яких трьох послідовних
клітинках рівна 3.
Дотримуючись умов задачі, обґрунтуйте відповіді на
такі питання:
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a) Скільки існує способів
заповнення цієї стрічки?
b) Скільки клітинок будуть
заповнені одним числом?
c) Чи завжди сума в
будь-яких шести послідовних клітинках цієї стрічки рівна 6?
d) Яка найменша кількість
послідовних клітинок заповненої стрічки, в яких сума чисел рівна 5?
e) В скількох послідовних
клітинках заповненої стрічки знаходиться найбільший добуток чисел?
f) Чому дорівнює найменше число, яке може утвориться в заповненій
стрічці?
g) Чи рівні між собою усі можливі добутки семи чисел, які
знаходяться у необов’язково послідовних семи клітинках заповненої стрічки?
h) Скільки найменше треба
взяти будь-яких клітинок із заповненої стрічки, аби добуток чисел цих клітинок був найбільшим?
2. У кожній клітинці 9-клітинкової
стрічки розташовані натуральні числа. Для будь-яких трьох послідовних клітинок
заповненої стрічки виконуються умова: сума
чисел рівна чотири.
Дотримуючись цих умов, обґрунтуйте відповіді на
такі питання:
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a) Скільки існує способів
заповнення цієї стрічки?
b) Яка найменша кількість
клітинок буде заповнена одним числом?
c) Чи завжди сума в
будь-яких шести послідовних клітинках цієї стрічки рівна 6?
d) Яка найменша кількість
послідовних клітинок заповненої
стрічки, в яких сума чисел рівна 5?
e) В скількох послідовних
клітинках заповненої стрічки знаходиться найбільший добуток чисел?
f) Чому дорівнює найменше число, яке може утвориться в
заповненій стрічці?
g) Чи рівні між собою усі можливі добутки семи чисел, які
знаходяться у необов’язково послідовних семи клітинках заповненої стрічки?
h) Скільки найменше треба
взяти будь-яких клітинок із заповненої стрічки, аби добуток чисел цих клітинок був найбільшим?
i) Чи для будь-яких трьох
послідовних клітинок заповненої стрічки добуток чисел однаковий?
3. У кожній клітинці
9-клітинкової стрічки розташовані натуральні числа. Для будь-яких чисел з трьох
послідовних клітинок заповненої стрічки виконуються умова: сума і добуток
рівні між собою. Дотримуючись цих умов, обґрунтуйте відповіді на такі
питання:
a) Скільки існує способів
заповнення цієї стрічки?
b) Яка найменша кількість
клітинок буде заповнена одним числом?
c) Чи завжди сума в
будь-яких шести послідовних клітинках цієї стрічки рівна 12?
d) Яка найменша кількість
послідовних клітинок заповненої
стрічки, в яких сума чисел рівна 15?
e) В скількох послідовних
клітинках заповненої стрічки знаходиться найбільший добуток чисел?
f) Чому дорівнює найменше число, яке може утвориться в
заповненій стрічці?
g) Чи рівні між собою усі можливі добутки семи чисел, які
знаходяться у необов’язково послідовних семи клітинках заповненої стрічки?
h) Скільки найменше треба
взяти будь-яких клітинок із заповненої стрічки, аби добуток чисел цих клітинок був найбільшим?
i) Чи для будь-яких шести
послідовних клітинок заповненої стрічки добуток чисел однаковий?
Відповіді.
До задачі
1.
a) Так як 3 = 0+1+2, тоді для
розташування цих чисел в перших трьох
клітинках існує 1∙2∙3=6 способів. Тобто 0+1+2 = 0+2+1 = 1+0+2 = 1+2+0 = 2+1+0 =
2+0+1. Таким чином, існує шість способів
заповнення стрічки.
b) 9:3=3 клітинки будуть
заповнені числом 2.
c) Так, адже у будь-яких
трьох послідовних клітинках рівна 3,
тому у шести послідовних клітинках 3+3=6.
d) 4 клітинки, адже у
будь-яких чотирьох послідовних клітинках
заповненої стрічки обов’язково містяться
клітинки з числами 0 і 1. Наприклад; 2+0+1+2=5.
e) В двох клітинках, бо у
будь-яких трьох послідовних клітинках
заповненої стрічки обов’язково міститься
клітинка з числом 0. Тому добуток чисел у послідовних трьох клітинках
рівний нулю. Найбільший добуток в двох
клітинках рівний 2.
f) 12012012.
g) Так, рівні нулю. За
принципом Діріхле знайдеться принаймні одна клітинка з цифрою 0..
h) Три клітинки з числами 2.
Найбільший добуток рівний 6.
До задачі 2.
a) Так як 4=
1+1+2=1+2+1=2+1=1, тоді для
розташування цих чисел в перших трьох
клітинках стрічки існує 3 способи, а всі інші клітинки заповнюються однозначно
відповідно до умови задачі. Існує три способи заповнення стрічки.
b) 9:3=3 клітинки.
c) Ні, адже у будь-яких
трьох послідовних клітинках рівна 4,
тому у шести послідовних клітинках 4+4=8.
d) 4 клітинки, адже у
будь-яких чотирьох послідовних клітинках
заповненої стрічки обов’язково містяться
клітинки з числами 2 і 1. Наприклад; 1+2+1+1=5.
e) Не менше, ніж в семи
клітинках, бо у будь-яких трьох
послідовних клітинках заповненої стрічки обов’язково міститься клітинка з числом 2. Тому добуток чисел у послідовних
трьох клітинках рівний 2. Найбільший добуток
в семи клітинках рівний 8.
f) 112 млн. 112 тис. 112.
g) Ні, вони можуть бути
рівні 2, 4, 8. За принципом Діріхле серед семи клітинок знайдеться принаймні
одна клітинка з цифрою 2.
h) Три клітинки з числами 2.
Найбільший добуток рівний 6.
i) Так, адже 1∙1∙2 = 2∙1∙1=
1∙2∙1.
До задачі 3
j) Так як 6 =
1+2+3=1∙2∙3, тоді для розташування цих чисел в перших трьох клітинках стрічки
існує 6 способів, а всі інші шість клітинок заповнюються однозначно відповідно
до умови задачі. Існує три способи заповнення стрічки.
k) 9:3=3 клітинки.
l) так, адже у будь-яких
трьох послідовних клітинках рівна 6,
тому у шести послідовних клітинках 6 + 6
= 8.
m) 7 клітинок, адже у
будь-яких трьох послідовних клітинках
заповненої стрічки обов’язково містяться
клітинки з числами 3, 2 і 1.
n) В восьми клітинках, бо у
будь-яких трьох послідовних клітинках
заповненої стрічки обов’язково міститься
клітинка з числом 1. Тому добуток чисел у послідовних восьми клітинках рівний
216. Найбільший добуток в цих клітинках
рівний 216.
o) 123 млн. 123 тис. 123.
p) Ні, вони можуть бути
рівні 36, 72, 108. За принципом Діріхле серед семи клітинок стрічки знайдеться
принаймні три клітинки з числами або 2, або 3, або 1.
q) Три клітинки з числами 6.
Найбільший добуток рівний 216.
r) Так, адже 1∙3∙2 = 2∙3∙1=
3∙2∙1 = 3∙1∙2 = 2∙1∙3= 1∙3∙2, цей добуток рівний 36.
Немає коментарів:
Дописати коментар